三角函數中常見錯誤突破

摘 要：三角函數問題，一般都是從觀察角，觀察函數名，觀察象限來得到解決，但是在實際的解題過程中，往往因為忽視一些特殊情形，未經過細致的思考而得出錯誤的解答． 本文旨在指出三角函數中常見的一些易錯題，比如最小正周期的理解，三角函數中求角的大小時對隱含條件的忽視，周期變化和相位變化順序不同時對平移量的影響，以及在解有關三角形問題中對三個角大小限制的忽視，讓三角函數問題能夠得到更好的解決．

關鍵詞：三角函數；最小正周期；有界性；相位變化

三角函數問題，一般都是從觀察角，觀察函數名，觀察象限來得到解決，但是在實際的解題過程中，往往因為忽視一些特殊情形，未經過細致的思考而得出錯誤的解答． 下文將以三角函數問題中幾個易錯題為例進行闡述．

■易錯點1?搖 忽視最小正周期的理解

例1 求函數y=■的最小正周期．

【錯解】 因為y=■=tan2x，所以函數y=■的最小正周期T=■．

【突破】 這屬于“最小正周期”概念的理解錯誤，誤以為y=■的最小正周期就是y=tan2x的最小正周期． 應注意定義域xx≠■+■且x≠■+kπ，k∈Z．

【正解】 由圖1原點O右移■得點■，0不屬于函數圖象上的點，觀察圖象并根據最小正周期的定義知函數y=■的最小正周期T=π．

【點評】要準確全面地理解函數的最小正周期：若函數y=f（x），存在實數T，使f（x+T）=f（x），就說T是函數y=f（x）的周期． 若f（x+T）=f（x），則f（x+kT）=f（x），即若T是函數y=f（x）的周期，則kT也是函數y=f（x）的周期，所有正周期中最小的一個叫此函數的最小正周期． 本例中函數y=■與y=tan2x實為兩個不同的函數．注意周期概念中“對定義域內任意的實數x都有……”，錯解中顯然沒有全面而準確地理解這一點．

■易錯點2 忽視隱含條件

例2 已知tanα，tanβ是方程x2+3·■x+4=0的兩根，α，β∈－■，■，求α+β的值．

【錯解】由題意有：tanα+tanβ= －3■tanα·tanβ=4，

所以tan（α+β）=■=■=■．

因為α，β∈－■，■，所以α+β∈（－π，π），所以α+β=－■或■．

【突破】 本題還需要挖掘隱含條件tanα<0，tanβ<0，從而縮小α+β的取值范圍．

【正解】 同上可得tan（α+β）=■.

又由tanα+tanβ=－3■<0，tanα·tanβ=4>0可得tanα<0，tanβ<0．

所以α，β∈－■，0，所以α+β∈（－π，0），于是α+β=－■．

【點評】 三角求值或求角的大小時，不僅要注意有關角的取值范圍，還要結合有關角的三角函數值把角的取值范圍縮小到盡可能小的取值范圍內，不然容易出錯．

例3 若2sin2α+sin2β－2sinα=0，求cos2α+cos2β的取值范圍．

【錯解】 令y=cos2α+cos2β=2－（sin2α+sin2β），

因為sin2β=2sinα－2sin2α，

所以y=2+sin2α－2sinα=（sinα－1）2+1．

因為－1≤sinα≤1，所以1≤y≤5．

【突破】 沒有挖掘題中隱含的已知條件sin2β=2sinα－2sin2α≥0，得0≤sinα≤1，即整個解題過程忽略了sinα的限制條件（函數值的取值范圍）． sinα的取值范圍不是［-1，1］，而是0≤sinα≤1．

【正解】 如上述求得y=（sinα－1）2+1時，由已知得sin2β=2sinα－2sin2α≥0，所以0≤sinα≤1，得1≤y≤2，即1≤cos2α+cos2β≤2．

【點評】 處理有關三角函數的取值范圍問題，既要考慮運用一般的函數方法來解決，又要考慮它本身的特殊性——有界性． 該題沒有挖掘題中隱含的已知條件，忽略函數值的取值范圍而導致結果錯誤．

■易錯點3 混淆周期變換和相位變換

例4?搖 要得到函數y=sin2x－■的圖象，只需將函數y=sin■x的圖象（ ）

A． 先將每個x值縮小到原來的■倍，y值不變，再向右平移■個單位．

B． 先將每個x值縮小到原來的■倍，y值不變，再向左平移■個單位．

C． 先把每個x值擴大到原來的4倍，y值不變，再向左平移個■單位．

D． 先把每個x值縮小到原來的■倍，y值不變，再向右平移■個單位．?搖?搖?搖

【錯解】 y=sin■x■y=sin2x■y=sin2x－■，

所以選A．

【突破】這屬于知識性錯誤，由y=Asinωx→y=Asin（ωx+φ）=Asinωx+■，橫坐標是向左（右）平移■個單位而不是φ個單位，變換是針對純粹的變量x而言的．

【正解】 y=sin■x■y=sin2x■y=sin2x－■，?搖

所以選D．

【點評】 利用圖象變換作圖是作出函數圖象的一種重要的方法，一般地由y=Asinx得到y=Asin（ωx+φ）的圖象有如下兩種思路：

一種是先進行周期變換，即由y=Asinx縱坐標不變，橫坐標變為原來的■倍，得到y=Asinωx；再進行相位變換，即由y=Asinωx橫坐標向左（右）平移■個單位，

即得y=Asinωx+■=Asin（ωx+φ）．

另一種是先進行相位變換即由y=Asinx向左（右）平移φ個單位，得到函數y=Asin（x+φ）的圖象；再進行周期變換，即將y=Asin（x+φ）的橫坐標變為原來的■倍，

即得y=Asin（ωx+φ）．

不論哪一種變換都要注意一點，就是不論哪一種變換都是對純粹的變量x而言的．

■易錯點4 忽視三角形中角的限制

例5 已知△ABC中，cosA=■，sinB=■，求cosC．

【錯解】 因為cosA=■，0

又sinB=■，0

所以cosC=－cos（A+B）=－cosAcosB+sinAsinB=■或■．

【突破】 上題解答中，錯因是沒有注意到在△ABC中“sinA>sinB?圳A>B”，誤得cosB=－■，導致增解．

【正解】 因為cosA=■，0

又在△ABC中，因為sinA>sinB，所以A>B，所以0

由sinB=■得cosB=■，

所以cosC=－cos（A+B）=－cosAcosB+sinAsinB=■．

【點評】 在解與三角形有關的問題時，容易出現增解或失解的情況，解題時應特別注意“根據三角形中的邊、角關系結論來確定角的取值范圍”．

在解決三角形中的三角函數問題時，常常因為沒有注意到題設條件（包括隱含條件）對角取值范圍的限制，或忽視計算結果的合理性出現錯解、增解而導致解答出錯． 為避免或減少這類錯誤的發生，通過以上幾個例題的錯誤展開分析與探究，進而探討三角形中諸因素的約束，暴露錯誤的發生過程，剖析錯誤的產生原因，探討錯誤的糾正方法，追求“不失誤”的學習目標，避免錯誤的發生．