數(shù)形結(jié)合,妙用切線

摘 要：函數(shù)與不等式的綜合應用是學習的難點，更是高考的熱點，相關(guān)問題用常規(guī)法解答都會遇到諸多思路或計算瓶頸難以突破． 本文通過數(shù)形結(jié)合分析法，等價轉(zhuǎn)化，活用切線，直觀而簡潔地解答了函數(shù)與不等式的幾類綜合問題，對解題教學及深化學生對知識的理解及應用有很大的參考價值．

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；導數(shù)；切線；參數(shù)；恒成立

數(shù)形結(jié)合法是高中階段數(shù)學學習理解應用的重要方法之一，圖象是高中學生學習數(shù)學的第三只眼睛． 準確畫出圖象，合理巧妙地運用數(shù)形結(jié)合法，不僅讓題目條件結(jié)論直觀形象，更能順暢突破思路障礙而成功解題，并且分析計算過程自然而簡單．

切線是學生接觸比較早的數(shù)學概念，在初中平面幾何中，學生對圓的切線就有深入的學習和應用． 高中階段，對切線的學習了解主要在三個方面：解析幾何中圓的切線、導數(shù)章節(jié)中曲線上一點的切線及過一點的曲線切線、圓錐曲線的切線． 因高中學生知識的限制和知識難度的要求，過一點的曲線切線及圓錐曲線的切線等都只作了解要求，一般學生難以掌握應用． 但若教師在教學中以圖象為突破口，合理分析轉(zhuǎn)化條件，完全可以以切線為突破口，高效解答有關(guān)曲線、函數(shù)、不等式等相關(guān)疑難問題．筆者對切線的應用做了一些研究，在此拋磚引玉，與大家共享．

■切線的常規(guī)應用

1. 圓的切線：已知P（x，y）是圓（ｘ-2）2+（y-3）2=1上的動點，求表達式■的取值范圍．

思路分析：

第一步：代數(shù)式幾何化． 設Q（－1，0），則■=kPQ（斜率）．

第二步：動態(tài)分析． 繞點Q轉(zhuǎn)動直線，將斜率取值范圍轉(zhuǎn)換成圓的切線問題．

第三步：代數(shù)計算．用圓的切線性質(zhì)，求切線斜率．

點評：此題為圓的常規(guī)考題，意在考查過一點的圓的切線，要求所有學生掌握應用．

2. 雙曲線的切線：若直線y=kx+2與雙曲線x2－y2=6右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（ ）

A． －■，■

B． 0，■?搖

C． －■，0

D． －■，－1

思路分析：

第一步：畫圖． 畫雙曲線及漸近線．

第二步：直線性質(zhì)．y=kx+2具有過定點A（0，2）的特性．

第三步：動態(tài)分析． 繞點A轉(zhuǎn)動直線，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，

則滿足要求的直線AP夾在AM與AN之間即可

（AM與漸近線平行；AN為雙曲線的切線）

第四步：分析答案． kAN

點評：此題是雙曲線的常規(guī)選擇題，重在考查“數(shù)形結(jié)合動態(tài)變化”分析能力，而不是考查計算能力．

3. 橢圓的切線：設P（m，n）是橢圓■+y2=1上動點，l：3x－4y+12=0，求P到直線l距離的最值．

思路分析：此題常有“函數(shù)法”和“切線法”兩種解答．

函數(shù)法：用橢圓參數(shù)方程，設m=2sinθ，n=cosθ，0≤θ≤2π（銳角φ滿足tanφ=■），

則距離d=■=■=■

則有dmax=■，dmin=■．

點評：函數(shù)法雖計算難度不大，但對學生綜合知識要求較高． 學生需掌握橢圓參數(shù)方程、點線距離公式、三角恒等變換輔助角公式等，且大多數(shù)學生對題中距離d的表達式在心理上有“畏懼感”．

切線法（數(shù)形結(jié)合動態(tài)分析）

第一步：畫圖． 畫橢圓與直線．

■

圖3

第二步：動態(tài)分析． 平移直線l，經(jīng)分析對比，當它與橢圓相切時，點P1，P2到l的距離分別為dP的最小、最大值．

第三步：代數(shù)計算：設切線方程3x－4y+p=0（平行線系方程），聯(lián)立方程組3x－4y+p=0，x2+4y2=4，消y得x的一元二次方程，再用直線與橢圓相切的代數(shù)法：判別式Δ=0，可求p1，p2．

第四步：計算答案． 求平行線距離，即可得距離最值．

點評：切線法避開了橢圓的參數(shù)方程和三角計算． 數(shù)形結(jié)合，直觀形象，思路清晰，且計算量也不大．

■切線的創(chuàng)造性應用

1. 直線y=x與曲線y=sinx的交點個數(shù)是（ ）

A． 0個 B． 1個 C． 2個 D． 3個

分析：此題屬于“曲線與方程”常規(guī)選擇題，意在考查函數(shù)零點、方程的根及兩個圖象交點個數(shù)．

此題貌似簡單，但暗藏陷阱，多數(shù)學生會在選項B和選項D中掙扎，最后猜測一個．

深入分析：y=x過點■，■且和豎線x=■交于點A上方某點．

但到底是OM型3個交點，還是ON型1個交點？

關(guān)鍵在于y=x與y=sinx切線OP的相對位置對比．

用導數(shù)法可求得切線OP恰為直線y=x，則題中答案選B．

變式訓練：根據(jù)分析，利用切線OP：y=x，可知y=2x、y=0.9x與y=sinx分別有1個、3個交點．

點評：此題的陷阱和突破點在于“是否分析到切線OP對于ON型和OM型直線的甄別作用”．

2. 切線法巧解“含參不等式恒成立”問題．

說明：含參不等式恒成立問題，既是高考的重點、熱點，更是學生的難點．一般情況下，不等式恒成立問題都可轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值等性質(zhì)解答，常常需要分類討論和運用構(gòu)造法．但這恰恰是學生的弱項．

選題1（2008全國Ⅱ理科第22題）設函數(shù)f（x）=■．

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍．

解答列舉：常規(guī)構(gòu)造法解答：（1）略．

（2）構(gòu)造g（x）=ax－f（x）=ax－■（x≥0），得g′（x）=3■－■2+a－■．

討論：當a≥■時，g′（x）≥0，g（x）在［0，+∞）上遞增，g（x）≥g（0）=0，即ax≥f（x）．

當0

x∈［0，arccos3a）時，h′（x）>0，則h（x）在［0，arccos3a）上嚴格遞增，

于是x∈（0，arccos3a）時，h（x）>h（0）=0，即sinx>3ax．

所以x∈（0，arccos3a）時，f（x）=■>■>ax，不合題意ax≥f（x）．

當a≤0時，取x=■，則有f■=■>0>a■，不合題意ax≥f（x）．

綜上討論，當x≥0時，要使ax≥f（x）恒成立，則a的取值范圍是■，+∞．

點評：高考理科壓軸題，通常都認為很難，要么解題思路復雜，要么計算復雜，要么需要創(chuàng)造性思維．

上述問（2）解答的“難于理解”和人們對壓軸題的預期相符合． 問（2）中采用構(gòu)造法證明，第一次構(gòu)造g（x）=ax－f（x），將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，學生基本上沒問題． 但在討論0

用切線，妙手回春

（1）用導數(shù)不等式法可得y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，

遞增區(qū)間2kπ－■，2kπ+■（k∈Z），遞減區(qū)間2kπ+■，2kπ+■（k∈Z）．

結(jié)合y=f（x）周期T=2π，畫出其一個周期的圖象（在x=■，f（x）取最大值）．

■

圖5

（2）設y1=ax，y■=f（x），則不等式f（x）≤ax在x≥0恒成立，可轉(zhuǎn)化為x≥0時，y2≤y1的圖象問題．

設y1=ax（x≥0），則該射線過原點．

可簡單求得y=f（x）在x=0處的切線OP：y=■x．

結(jié)合圖象和切線OP，當a<■時，射線y=ax（x≥0）形如OM，與y=f（x）至少有兩個交點，必存在x0>0使得y2>y1；

當a≥■時，射線y=ax（x≥0）形如OP或ON，結(jié)合y=f（x）圖象及周期，對?坌x≥0都有y2≤y1．

綜合上述討論，僅當a≥■時，對任意x≥0時，恒有f（x）≤ax．

點評：通過數(shù)形結(jié)合法，利用y=f（x）的圖象性質(zhì)和周期，及射線y=ax（x≥0）繞原點O旋轉(zhuǎn)分析，將問（2）的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成y=f（x）在原點O的切線問題，直觀而簡單完成解答．

此切線轉(zhuǎn)化法，絕大部分考生都能明白并能將該方法遷移運用．當然，對圖象及性質(zhì)要求稍高．

選題2（2010年新課標文科第21題）設f（x）=x（ex-1）－ax2．

（1）若a=■，求f（x）單調(diào)區(qū)間；?搖

（2）若x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

常規(guī)分析：此題問（2）可轉(zhuǎn)化為f的最值，或者分離字母a再轉(zhuǎn)化為最值，但都會遇到討論上的困難，并且計算量很大．這里不再贅述．

用切線，妙手回春

當x=0時，f（0）=0，不等式f（x）≥0成立；當x>0時，f（x）≥0?圳x（ex-1）－ax2≥0?圳ax+1≤ex．

■

圖6

?搖設y1=ax+1，y2=ex． 則不等式ax+1≤ex在x≥0恒成立轉(zhuǎn)化為x≥0時，y1≤y2的圖象問題．

設y1=ax+1（x≥0），該射線過定點F（0，1）；

設y2=ex（x≥0），簡單可求y2在x=0處切線FP：y=x+1（過點F（0，1））．

結(jié)合圖象和切線FP，

當a>1時，射線y1=ax+1（x≥0）形如FM，

必存在x0>0使得y1>y2，不合題意；

當a≤1時，射線y1=ax+1（x≥0）形如FP、FA、FB、FC等，對任意x≥0都有y1≤y2．

綜上討論，滿足x≥0時，f（x）≥0的實數(shù)a的取值范圍是（－∞，1）．

點評：該題等價變形為不等式ax+1≤ex在x≥0恒成立后，通過數(shù)形結(jié)合動態(tài)分析，再成功轉(zhuǎn)化成指數(shù)函數(shù)的切線問題（曲線上一點的切線），使人豁然開朗，問題迎刃而解．

選題3 （2010深一模）函數(shù)f（x）=x2lnx．

（1）判斷f（x）奇偶性；

（2）求f（x）單調(diào)區(qū)間；

（3）若關(guān)于x的方程f（x）=kx－1有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

用切線，妙手回春

由（1）的奇偶性和（2）的單調(diào)性，可畫出函數(shù)y=f（x）的圖象．

■

圖7

（3）中關(guān)于的方程f（x）=kx－1有實數(shù)解相當于y1=f（x）與y2=kx－1函數(shù)圖象有交點．

直線y2=kx－1過定點A（0，－1），可用導數(shù)法求得曲線y■=f（x）過點A的切線AP1和AP2斜率分別是kAP1=1和kAP2=－1，繞點A旋轉(zhuǎn)直線y2=kx－1并結(jié)合切線AP1和AP2動態(tài)分析，可得k≥1或k≤－1時，y■=f（x）與y2=kx－1函數(shù)圖象有交點．

切線法僅僅是數(shù)形結(jié)合法應用的冰山一角． 圖象是初等數(shù)學學習的第三只眼睛，只要勤于分析研究，就能突破題目的難點，變抽象為直觀，變繁為簡，變不可能為一切皆有可能．