巧借差分方程破解概率難題

摘 要：本文簡(jiǎn)要介紹了如何通過(guò)遞推關(guān)系和全概率公式搭建起差分方程與概率問(wèn)題兩者間的橋梁，總結(jié)了兩種途徑建立差分方程的關(guān)鍵，闡述了如何借助差分方程這一工具破解概率方面的相關(guān)難題．

關(guān)鍵詞：差分方程；概率；遞推關(guān)系；全概率公式

■差分方程概述

1． 差分的概念

設(shè)函數(shù)y=f（t）中的自變量t取所有的整數(shù)，并記其函數(shù)值為y■．當(dāng)t=…，-2，-1， 0，1，2，…，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，yn，…，差yt+1－yt稱為函數(shù)y■的差分，也稱為一階差分，記為Δyt，則函數(shù)y=f（t）在時(shí)間t的一階差分為Δyt=yt+1－yt．

一階差分的性質(zhì)

（1）若y=C（C為常數(shù)），則Δyt=0；

（2）對(duì)于任意常數(shù)k，Δkyt=kΔyt；

（3）Δ（ayt+bzt）=aΔyt+bΔzt．

函數(shù)y=f（t）在時(shí)刻t的二階差分定義為一階差分的差分，即

Δ2yt=Δ（Δyt）=Δ（yt+1－yt）=Δyt+1－Δyt=（yt+2－yt+1）－（yt+1－yt）=yt+2－2yt+1+yt．

同樣可以定義三階差分、四階差分以及更高階的差分．

一般地，k階差分（k為正整數(shù)）定義為

Δkyt=Δ（Δk-1yt）

=Δk-1yt+1－Δk-1yt

=■（－1）iC■yt+k-1，

這里C■=■．

2. 差分方程的概念

含有自變量、自變量的函數(shù)及其差分的方程，稱為差分方程． 出現(xiàn)在差分方程中的差分的最高階數(shù)，稱為差分方程的階． n階差分方程的一般形式為

F（t，yt，Δyt，…，Δnyt）=0或F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0．

3. 差分方程的解

如果將已知函數(shù)y=f（t）代入方程F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0，使其對(duì)t=…，-2，-1，0，1，2，…成為恒等式，則稱y=f（t）為方程的解． 含有n個(gè)任意獨(dú)立常數(shù)c1，c2，…，cn的解y=（t，c1，c2，…，cn）稱為n階差分方程的通解．在通解中給任意常數(shù)c1，c2，…，cn以確定的值所得的解，稱為n階差分方程的特解．

4. 線性差分方程及其解

形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=f（t）的差分方程，稱為n階非齊次線性差分方程． 其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）和f（t）都是t的已知函數(shù)，且an（t）≠0，f（t）≠0．

而形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=0的差分方程，稱為n階齊次線性差分方程． 其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）都是t的已知函數(shù)，且an（t）≠0．

如果a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）均為常數(shù)（an（t）≠0），

則有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f（t），?搖?搖

yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+any■=0，分別稱為n階常系數(shù)非齊次線性差分方程和n階常系數(shù)齊次線性差分方程．

5. 一階、二階常系數(shù)線性差分方程的解

引理1 對(duì)于一階常系數(shù)非齊次線性差分方程yn+1=ayn+b，其中a， b為常數(shù)且a≠1，若已知y1=c（c為常數(shù)），則yn+1=anc+■b．

證：（遞推法）

若a≠1，

yn+1=ayn+b

=a（ayn-1+b）+b=a2yn-1+（a+1）b=a2（ayn-2+b）+（a+1）b=a3yn-2+（a2+a+1）b

=any1+（an-1+an-2+…+1）b

=any1+■b

=anc+■b．

引理2 對(duì)于二階常系數(shù)齊次線性差分方程yn+2=ayn+1+byn，其中a，b為常數(shù)，若已知y1=m1，y2=m2（m1，m2為常數(shù)），則yn+1=■+■，其中λ1，λ2是方程λ2-aλ-b=0的兩根．

證：（特征根法）

λ2－aλ－b=0是差分方程yn+2=ayn+1+byn的特征方程．

已知λ1，λ■是方程λ2-aλ-b=0的兩根，則差分方程的解為

yn+1=c1λ■+c2λ■．

已知y1=m1，y2=m2，代入上式得

m1=c1λ1+c2λ2，m2=c1λ■+c2λ■，

解得

c1=■，c2=■，

yn+1=■+■．

■將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為差分方程問(wèn)題

1. 概率問(wèn)題與差分方程二者間的關(guān)系

由差分方程的定義可知，差分方程是研究函數(shù)在一給定點(diǎn)x=k上的函數(shù)值f（k）與在x=k附近的N個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值之間的關(guān)系的方程，因而其適用于解決概率中一些涉及離散型隨機(jī)變量的問(wèn)題．

2． 將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為差分方程問(wèn)題的途徑

利用差分方程巧解概率問(wèn)題的關(guān)鍵是如何將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為差分方程問(wèn)題．常見(jiàn)的有兩條途徑：一、借助遞推公式建立差分方程；二、借助全概率公式建立差分方程．

（1）借助遞推公式建立差分方程

遞推公式：是指可以通過(guò)給出數(shù)列的第1項(xiàng)（或前若干項(xiàng)），并給出數(shù)列的某一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前若干項(xiàng)）的關(guān)系式來(lái)表示數(shù)列，這種表示數(shù)列的式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式． 遞推公式實(shí)質(zhì)即為差分方程，建立遞推公式就是先設(shè)所需求的函數(shù)值，再確定該函數(shù)值與其前面項(xiàng)間的關(guān)系．

例1 A、B兩人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲，若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對(duì)手接著擲，第一次由A開(kāi)始擲． 求第N次由A擲的概率為pn，求pn．

解：A、B兩人擲出的點(diǎn)數(shù)和為3的倍數(shù)的情況有：1+2，2+1，3+3，4+2，2+4，5+1，1+5，5+4，4+5，6+3，3+6，6+6共12種情況，A、B兩人擲骰子所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)是6×6=36種，則事件“A、B兩人擲出的點(diǎn)數(shù)和為3的倍數(shù)”的概率為■=■；事件“A、B兩人擲出的點(diǎn)數(shù)和不為3的倍數(shù)”的概率為1－■=■．

第N次由A擲有兩種可能：（1）第N-1次由A擲且擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，則第N次仍由A擲；（2）第N-1次由B擲且擲出的點(diǎn)數(shù)之和不為3的倍數(shù)，則第N次由A擲．

第1種情況的概率為■pn-1；第2種情況的概率為■（1-pn-1）． 由分類計(jì)數(shù)原理得

pn=■pn-1+■（1－pn-1）=－■pn-1+■，這是一個(gè)一階常系數(shù)非齊次線性差分方程．

由引理1知

pn=an-1c+■b，其中a=－■，b=■，c=p1=1， 則pn=－■n-1+■·■=■+■－■n-1．

例2 求N位二進(jìn)制數(shù)中，數(shù)字0與1相鄰的二進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)．

解：設(shè)N位二進(jìn)制數(shù)中，數(shù)字0與1相鄰的二進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)為f（n）． 對(duì)于二進(jìn)制數(shù)而言，其第一位上的數(shù)只有0或1兩種可能性．若第一位上的數(shù)為0，則要求滿足條件的二進(jìn)制數(shù)，第二位上的數(shù)必須為1，且后面的N-2位上的數(shù)0與1必須相鄰，其個(gè)數(shù)為f（n-2）；同理，若第一位上的數(shù)為1，則要求滿足條件的二進(jìn)制數(shù)，第二位上的數(shù)必須為0，且后面的N-2位上的數(shù)0與1必須相鄰，其個(gè)數(shù)為f（n-2）． 由分類計(jì)數(shù)法得：f（n）=f（n-2）+ f（n-2）=2 f（n-2）， 這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性差分方程．

λ2－2=0是f（n）=f（n-2）+f（n-2）=2f（n-2）的特征方程，解得λ1=■，λ2= －■，則

f（n）=c1（■）n+c2（-■）n．

又因?yàn)閒（1）=2，f（2）=2，代入上式得■c1-■c2=2，2c1+2c2=2，

解得

c1=■，c2=■，

f（n）=■（■）n+■·（-■）n．

例3 有人玩擲硬幣走跳棋的游戲．已知硬幣1出現(xiàn)正反面的概率都是■，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，……，第100站． 一枚棋子開(kāi)始在第0站，棋手每擲一次硬幣棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正而，棋子向前跳一站（從k到k+1）；若擲出反面，棋子向前跳二站（從k到k+2），直到棋子到第99站（勝利大本營(yíng)）或跳到第100站（失敗集中營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束． 求棋子跳到第N站的概率．

解：設(shè)棋子跳到第N站的概率為Pn． 由題意知，P0=1，P1=■．

棋子跳到第N站有兩種可能：（1）先跳到第N-1站，擲出正面，再跳到第N站；（2）先跳到第N-2站，擲出反面，再跳到第N站．

第1種情況的概率為■Pn-1；第2種情況的概率為■Pn-2． 由分類計(jì)數(shù)原理得Pn=■Pn-1+■Pn-2，這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性差分方程．

λ2－■λ－■=0是Pn=■Pn－1+■Pn－2的特征方程，解得λ1=1，λ2=－■，則

Pn=c1+c2－■n

又因?yàn)镻0=1，P1=■；代入上式得

c1+c2=1，c1-■c2=■，

解得c1=■，c2=■，

則Pn=■+■－■n．

（2）借助全概率公式建立差分方程

設(shè)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個(gè)劃分，兩兩互不相容，且P（Bi）>0 （i=1，2，…n），則

P（A）=P（B1）P（AB1）+P（B2）P（AB2）+…+P（Bn）P（ABn）

上式稱為全概率公式．

全概率公式在概率論中占有極其重要的作用，通過(guò)應(yīng)用全概率公式可把概率論中一些極其復(fù)雜的事件的求解分解成若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件的求解． 同時(shí)借助全概率公式可以構(gòu)造等式，建立起差分方程，從而為概率問(wèn)題的求解尋求了另一個(gè)途徑．

例4 一布袋中裝有黑、白色的乒乓球各一只，每次從布袋中任取一球，取出的球不放回，同時(shí)放入一黑球，求第N次取到黑球的概率．

解：記An=第N次取到黑球；■=第N次取到白球． 設(shè)第N次取到黑球的概率為Pn．

顯然，An∪■=Ω（必然事件），An∩■=■，則An，■是空間Ω的一個(gè)劃分，且P（An）>0，P（■）>0，則由全概率公式知：P（An）=P（An－1）P（AnAn－1）+P（■）·P（An■）

其中P（AnAn－1）=■，P（An■）=1，

則Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1，這是一個(gè)一階常系數(shù)非齊次線性差分方程．

λ+■=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■·Pn－1的特征方程，解得λ=－■，則

Pn=c1－■n+■是差分方程的齊次解．

又因?yàn)樽杂身?xiàng)為1，所以設(shè)特解為D．

代入Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1得，D=■，

則差分方程的通解為Pn=c1－■n+■．

將P1=■代入Pn=c1－■n+■，

解得

c1=■，

則

Pn=■－■n+■．

例5 設(shè)電子在整數(shù)點(diǎn)集｛0，1，2，…，n｝上作隨機(jī)游動(dòng)． 已知質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的位置是a，由于受外力的作用，電子的位置會(huì)發(fā)生變動(dòng)． 假設(shè)電子以概率p移動(dòng)到a+1，以概率1-p移動(dòng)到a-1． 求質(zhì)點(diǎn)從a出發(fā)在0被吸收的概率．

解：記B=質(zhì)點(diǎn)從k點(diǎn)移動(dòng)到k+1點(diǎn)，P（B）=p；■=質(zhì)點(diǎn)從k點(diǎn)移動(dòng)到k-1點(diǎn)，P（■）=1－p． 設(shè)Ak=質(zhì)點(diǎn)從k出發(fā)在0處被吸收，P（Ak）=Pk．

顯然，B∪■=Ω（必然事件），B∩■=■，則B，■是空間Ω的一個(gè)劃分，且P（B）>0，P（■）>0，則由全概率公式知：P（Ak）=P（B）P（AkB）+P（■）P（AkB）

=P（B）P（Ak+1）+P（■）P（Ak－1），

即Pk=pPk+1+（1－p）Pk－1，這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性差分方程．

pλ2－λ+（1－p）=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■Pn－1的特征方程，解得λ1=■，λ2=■，則

Pn=c11+■n+c21-■n．

例6 在N重貝努利實(shí)驗(yàn)中，設(shè)事件A出現(xiàn)的概率為p，求在N次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)偶次的概率．

解：記Bk=第K次實(shí)驗(yàn)時(shí)事件A出現(xiàn)偶次，P（Bk）=Pk；■=第K次實(shí)驗(yàn)時(shí)事件A出現(xiàn)奇次，P（■）=1－Pk． C=第K次實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A出現(xiàn)，P（C）=p；■=第K次實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A不出現(xiàn)，P（■）=1－p．

顯然，Bk-1∪■=Ω（必然事件），Bk-1∩■=■，則Bk－1，■是空間Ω的一個(gè)劃分，且P（Bk－1）>0，P（■）>0，則由全概率公式知：P（Bk）=P（Bk－1）P（BkBk－1）+P（■）P（Bk■）

=P（Bk－1）P（■）+P（■）P（C），

即Pk=Pk－1（1－p）+p（1－Pk－1）=p+（1－2p）Pk－1，這是一個(gè)一階常系數(shù)非齊次線性差分方程．

由引理1知

Pn=an-1c+■b，其中a=1－2p，b=p，c=p1=0，

則

Pn=■．

3． 總結(jié)

通過(guò)上文中的具體實(shí)例，我們看到了應(yīng)用差分方程解決概率問(wèn)題是行之有效的一種方法． 而這一方法的關(guān)鍵是如何架起連結(jié)概率論問(wèn)題與差分方程求解問(wèn)題之間的橋梁． 本文介紹了借助遞推關(guān)系建立差分方程和借助全概率公式建立差分方程兩種方法． 借助遞推公式建立差分方程的關(guān)鍵是找出所需求的函數(shù)值與其前后項(xiàng)間的關(guān)系；借助全概率公式建立差分方程的關(guān)鍵是如何找到合適的“劃分”，從而應(yīng)用全概率公式把概率論中一些極其復(fù)雜的事件求解分解成若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件求解，從而為概率問(wèn)題的求解尋求了另一個(gè)途徑．

建立起差分方程后，我們就要根據(jù)差分方程的形式進(jìn)行求解． 常用的有遞推法和特征根法，當(dāng)然也可根據(jù)引理直接寫出差分方程的解． 把概率論中的知識(shí)通過(guò)差分方程的知識(shí)來(lái)解決，使學(xué)科間的聯(lián)系更加緊密，培養(yǎng)了轉(zhuǎn)化化歸能力和綜合分析能力，是新世紀(jì)素質(zhì)教育的發(fā)展方向和必然要求．