例談整體思想在數學解題中的運用

摘 要：D·希爾伯特說：數學的源泉就在于思維與經驗的反復出現的相互作用． 解數學題時，學生的思維習慣往往從問題的局部入手處理問題，常常導致某些題解題過程繁雜、運算量大，甚至半途而廢． 事實上，有很多數學問題，如能縱觀全局，巧妙利用整體思想對問題實施調節與轉化，通過整體代入、整體換元、整體變形、整體構造等方式，常常能使問題化繁為簡，變難為易，快速獲解，提高解題效率．

關鍵詞：整體思想

解數學題時，學生往往習慣于從問題的局部入手處理問題，常常導致某些題解題過程繁雜、運算量大，甚至半途而廢． 事實上，有很多數學問題，如能縱觀全局，利用整體思想對問題實施調節與轉化，通過整體代入、整體換元、整體變形、整體構造等方式，常常能使問題快速獲解，提高解題效率．

■整體思想在函數中的運用

在解有關函數問題時運用整體思想，主要體現在運用函數性質求值、求特定函數的最值以及抽象函數的有關問題中，解題時，將函數的某一部分看做整體，有時，可以起到“柳暗花明又一村”的作用．

例1 已知f（x）=x5+ax3+bx－8，且f（-2）=10，求f（2）．

分析與解：將f（-2）看做整體，設g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx，

則g（x）是奇函數． 所以由g（2）= －g（-2），有

f（2）=g（2）－8=－g（-2）－8=－［f（-2）+8］－8=－26．

點評：就本題而言，通常情況下，要求f（2）的值，必先求出f（x）的解析式，但由已知條件是求不出的． 觀察到x5+ax3+bx=f（x）+8是奇函數，將其看做一個整體，運用奇函數的性質，直接解題．

例2 求函數y=■（x∈R）的最小值．

分析與解：常規思路，由均值不等式，有y=■=■+■≥2，當且僅當■=■，即x2=－3時等號成立，這顯然是不可能的．說明利用均值不等式中的等號成立無法求出最小值，必須轉換思維，另辟蹊徑．

注意到■與■的關系，嘗試整體配方：?搖

y=■－■2+2，

因為■≥■，－■≥ －■，

所以■－■2≥■，

所以y≥■+2=■，

當且僅當x=0時等號成立，故y的最小值是■．

點評：本題中整體配方后，視■－■為一個新的整體，就可以求出此函數最小值． 在高考中，根據問題的特征，靈活運用整體配方，常常能出奇制勝．

■整體思想在三角中的運用

在解有關三角函數問題時運用整體思想，主要體現在化簡求值，研究三角函數的定義域、值域、單調性、最值等方面． 解題時，如果能夠在善于觀察題目的整體結構特征和數量關系的基礎上巧妙地運用整體思想，往往能夠達到變多為少、化繁為簡、化難為易的目的．

例3 求sin220°+cos280°+■·sin20°·cos80°的值．

分析與解：設A=sin220°+cos280°+■sin20°·cos80°，配B=cos220°+sin280°+■cos20°·sin80°，所以A+B=2+■cos10°，A－B=－■－■cos10°，所以A=■，即sin220°+cos280°+■sin20°·cos80°=■．

點評：對某些問題，根據其本身的特點，將原問題（或原問題的某一部分）視做一個整體，記作A，然后構造一個與A相對應的式子B，通過研究A與B間的關系，達到解題目的．

■整體思想在不等式中的運用

在解不等式問題時運用整體思想，將題設或結論視為整體，通過對整體結構的調節或轉化，可以簡化運算、降低思維難度、縮短推證過程．

例4 證明：■·■·…·■<■．

分析與證明：設A=■·■·…·■，則

A<■·■·…·■=■·■·■·…·■·■=■·■，

即A2<■，所以A<■，

即■·■·…·■<■．

點評：通過整體轉化，展現了數學方法的魅力，并在此過程中培養學生的創造能力和求新意識．

■整體思想在立幾中的運用

在立體幾何中，可以通過整體補形，將四面體補成正四面體或平行六四面體、正四面體補成正方體、過同一個頂點的三條棱兩兩垂直的三棱錐（或四面體）補成長方體、四棱錐補成平行六面體；也可以通過整體展開，將立體圖形展開為平面圖形，通過平面圖形的研究來解決立體幾何中的表面積問題、沿表面行走路徑最短問題、包裝問題、剪裁問題、制作問題等．

例5 如圖1，在三棱錐P－ABC中，三組對棱相等，且PA=13，PB=14，PC=15，求其體積．

■

圖1

分析與解：按常規解題思路是求底面積和高，底面積可用海倫公式求出，但頂點到底面的高無法作出，自然無法求出． 注意到三組對棱相等這個已知條件，在長方體中對面不平行的對角線也具有這種性質，因此可以將此三棱錐P－ABC補成如圖2所示的長方體．

設AD=x，AE=y，AF=z，則

x2+y2=142，y2+z2=152，x2+z2=132，

解得x=■，y=■，z=■，所以V三棱錐P-ABC=V長方體AFPD-EBGC－4V三棱錐A-BCE=xyz－4×■×■xyz=■xyz=42■．

■

圖2

點評：通過運用整體思想將三棱錐補成一個長方體，從而使問題簡便快捷地得到解決．

■整體思想在解幾中的運用

在解析幾何中，在求解某個量的過程中，可能要借助其他的量，對于這些輔導量，我們只是表示出而不必具體求出，這就是“設而不求”的思想方法，其實質也是一種整體代換思想．

例6 求證：橢圓■+■=1和雙曲線x2－15y2=15的交點處的切線互相垂直．

分析與證明：設P（x0，y0）是兩曲線的一個交點，顯然y0≠0，則在點P處有

橢圓的切線方程為■+■=1，斜率k1=－■；

雙曲線的切線方程為x0x－15y0y=15，斜率k2=■．

又點P在兩曲線上，有■+■=1，x■-15y■=15?圯■ = ■，

所以k1k2=－■×■=－■×■×■=－1，

所以在交點處的兩曲線的切線互相垂直．

點評：這里所設的點的坐標P（x0，y0）并未求出，但它起到橋梁作用，這種方法在解析幾何中經常用到，其實質是整體結構意義上的變式和整體思想的運用．

■整體思想在數列中的運用

在解有關數列問題時運用整體思想，主要是借用數列的性質，挖掘內在聯系，溝通已知與未知間的關系，輕松解題．

例7 已知等差數列｛an｝，｛bn｝，■=■，求■．

分析與解：由已知條件無法直接求出a5與b5，因此，按常規解法難以解決問題，若將其看成一個整體，挖掘■與■=■的關系，有

■=■=■=■=■=■=■．

點評：本題借助等差中項的概念及等差數列的前n項和公式中的內在聯系是關鍵．

■整體思想在復數中的運用

解復數問題時學生往往不加分析地用復數的代數形式或三角形式解題．這樣常常給解題帶來煩瑣的運算或解題思路受阻． 運用整體思想，主要體現在利用復數性質，特別是利用模與共軛復數的性質，充分利用復數的整體性質可以更好地把握住復數問題的整體結構和整體特征，從而使問題的處理更為簡潔方便． 因此，有必要提煉和強化整體處理的思想方法，提高學生解題的靈活性及變通性．

例8 設復數Z1和Z2滿足關系：Z1·■+■·Z1+A·■=0，其中A為不等于0的復數，證明：Z1+A■+■=A2．

分析與證明：此題若設Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，A=c+di，（a1，b1，a2，b2，c，d∈R），解題將陷入“絕境”．

由原關系式，整體構造，得Z1·■+■·Z1+A·■+A·■=A·■，

即（Z1+A）·（■+■）=A·■，由復數性質，得Z1+A■+■=A2．

點評：解答復數問題，應注意從整體上觀察分析已知條件的結構特征，挖掘問題潛在的特殊性和簡單性，充分利用復數的有關概念、復數的幾何意義以及一些變形技巧，對問題進行整體化處理，可提高綜合應用知識的能力．

■整體思想在向量中的運用

在解有關向量問題時運用整體思想，主要是挖掘向量的幾何意義，整體構造圖形，巧妙解題．

例9 已知點O在△ABC內部，且有■=4■+5■，則△OAB與△OBC的面積之比為________．

分析與解：初看已知條件，有無從下手之感． 將■=4■+5■改造為■+■=5■+5■，由幾何意義整體構造如圖3所示的圖形，所以S△OAB=S△OBE，S△OBC=S△OBD．

又OE=5OD，所以S△OBE=5S△OBD，即S△OAB=5S△OBC，

所以S△OAB∶S△OBC=5∶1．

總之，用整體思想解題不僅可以簡潔明快地解題，而且可以發掘學生的創造潛能． 因此在教學中，我們要有目的、有計劃地對學生加強整體思想的滲透和訓練，幫助學生克服過早進入問題的枝節的習慣，避免“只見樹木、不見森林”的思維方式，由此可以提高學生解題能力，優化學生的思維品質．