例談“轉化與化歸”思想在高中數學解題中應用

摘 要：化歸與轉化的思想方法是高中數學的一種非常重要的思想方法，掌握好化歸與轉化的思想方法的特點，對我們學習數學是非常有幫助的． 本文從陌生與熟悉的轉化、常量與變量的轉化、正與反的相互轉化、方程與函數的轉化、數與形的轉化、抽象與具體的轉化，例談化歸與轉化思想在高中數學應用中所涉及的基本類型的解題策略．

關鍵詞：高中數學；轉化與化歸；解題

“轉化與化歸”是一種重要的數學思想方法，通過問題的轉化、歸類就會使問題變得簡單． 雖然轉化的方法有很多，但都遵循轉化與化歸的原則——熟悉化原則、簡單化原則、直觀化原則、正難則反原則． 化歸與轉化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維方式．學生在學數學時掌握好“轉化與化歸”等數學數學思想方法，會大大提高分析、處理和解決數學問題的能力． 本文結合實例，例談轉化與化歸思想在數學解題中的一些應用．

■陌生與熟悉的轉化

例1 已知m1=■，m2=■，m3=■ 求證：m1+m2+m3=m1m2m3．

解析：原條件可化為m1=■，m2=■，m3=■，令■=tanα，■=tanβ，則m1=tan■+α，m2=tan■+β，m3=■=■=tan■－α－β．

因為■+α+■+β+■－α－β=π，

所以tan■+α+■+β=tanπ－■－α－β，即■= －tan■－α－β，

整理得tan■+α+tan■+β+tan■－α－β=tan■+α·tan■+β·tan■－α－β，

所以m1+m2+m3=m1m2m3成立．

點評：將陌生問題轉化為熟悉的問題，以利于運用熟知的知識、經驗和問題來解決，本題巧妙地將陌生的分式經過整理變形，轉化為熟悉的兩角和差正切公式來解決．

■常量與變量的轉化

例2 對于滿足0≤p≤4的一切實數，不等式x2+px>4x+p－3恒成立，試求x的取值范圍．

解析：習慣上把x當做自變量，記函數y=x2+（p－4）x+3－p，于是問題轉化為：當 p∈［0，4］時，y＞0 恒成立，求x的取值范圍． 解決這個等價的問題需應用二次函數以及二次方程的區間根原理，可想而知，這是相當復雜的．

設函數f（p）=（x－1）p+（x2－4x+3），顯然x≠1，則f（p）是p的一次函數，要使f（p）＞0 恒成立，當且僅當f（0）＞0，且f（4）＞0時，解得x的取值范圍是（-∞，－1）∪（3，＋∞）．

點評：本題看上去是一個不等式問題，但經過等價轉化，把它化歸為關于p的一次函數，利用一次函數的單調性求解，解題的關鍵是轉換變量角色． 在有幾個變量的問題中，常常有一個變元處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定式的影響，在解決這類問題時，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的． 但在某些特定條件下，此路往往不通，這時若能變更主元，轉移變元在問題中的地位，就能使問題迎刃而解．

■正與反的相互轉化

例3 已知函數f（x）=4x2－ax+1在（0，1）內至少有一個零點，試求實數a的取值范圍．

解析：至少有一個零點的情況比較復雜，而其反面為沒有零點，比較容易處理．

（法一） 當函數f（x）=4x2－ax+1在（0，1）內沒有零點時?圳4x2－ax+1=0在（0，1）內沒有實數根，即在（0，1）內，a≠4x+■． 而當x∈（0，1）時，4x+■≥2■=4，得4x+■∈［4，+∞） ．

要使a≠4x+■，必有a<4． 故滿足題設的實數a的取值范圍是［4，+∞）．

（法二） 設f（x）=4x2－ax+1，對稱軸為x=■，注意到f（0）=1>0，故對稱軸必須在y軸的右側．

?搖（1）當0<■<1時，即0

有Δ=a2－16≥0，f（0）>0?圯a≤－4或a≥4，a∈R?圯a≤－4或a≥4，此時4≤a<8；

（2）當■≥1時，有f（1）<0?圯5－a<0?圯a>5，此時有a≥8．

綜合（1）（2）得實數a的取值范圍是［4，+∞）．

?搖點評：運用法二直接求解時，要有較強的數形結合能力、分類討論能力和較強的洞察力（注意到f（0）=1>0），有一定的難度；若轉為先考慮它的反面情形（法一），則解題目標與思路會變得更集中與明確． “正難則反”有時會給我們的解題帶來意想不到的妙處．

■方程與函數的轉化

例4 若關于x的方程cos2x+4asinx+a－2=0在區間［0，π］上有兩個不同的解，則實數a的取值范圍是______________．

解析：cos2x+4asinx+a－2=1－2sin2x+4asinx+a－2=－2sin2x+4asinx+a－1．

令t=sinx，t∈［0，1］，則原題轉化為方程－2t2+4at+a－1=0在［0，1］上有兩個根．

令f（t）=－2t2+4at+a－1，由二次函數圖象可知Δ>0，f（0）≤0，f（1）≤0，0<■<1，解得■

點評：本題涉及多種轉化，一是三角函數的異名化同名，三角函數轉化為代數問題，二是方程的問題轉化為函數的問題，經過轉化題目就迎刃而解了． 宏觀整體的高度把握問題的一般規律，從而達到成批的處理問題的效果．

■數與形的轉化

例5 求函數f（x）=■+■的最小值．

解析：f（x）=■+■ =■+■．

■

圖1

設A（2，3），B（6，1），P（x，0），則上述問題轉化為求PA+PB的最小值．如圖1，點A關于x軸的對稱點為C（2，－3），因為PA+PB=PC+PB≥BC=4■，所以f（x）的最小值為4■．

點評：本題如果直接對原式進行變形，其運算量是比較大的，效率當然也不高，但是將式子轉化為這種點與點距離公式之后，它的幾何意義就凸顯出來了；然后再利用數形結合的方法，把代數問題轉化為幾何問題，這樣的轉化使題目變得簡單多了．

■抽象與具體的轉化

例6 設f（x）定義域在實數集R上，當x>0時，f（x）>1，且對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）·f（y），同時f（1）=2，解不等式f（3x－x2）>4．

解析：由f（x+y）=f（x）·f（y）中取x=y=0得f（0）=f（0）2． 若f（0）=0，則令x>0，y=0，f（x）=0與x>0時，f（x）>1矛盾． 所以f（0）=1．

當x>0時，f（x）>1>0；當x<0時，－x>0，f（－x）>1>0，而f（x）·f（－x）=1，

所以f（x）=■>0． 又因為f（0）=1，所以x∈R，f（x）>0． 設x1，x2∈R且x10，f（x2－x1）>1，f（x2）－f（x1）=f［x1+（x2－x1）］－f（x1）=f（x1）f（x2－x1）－f（x1）= f（x1）［f（x2－x1）－1］>0，所以y=f（x）在R上為單調增函數． 又因為f（1）=2，所以f（3x－x2）>f（1）·f（1）=f（1+1）=f（2）． 由f（x）的單調性可得3x－x2>2，解得1

點評：由于指數函數有類似f（x+y）=f（x）·f（y）的性質ax+y=ax·ay，所以猜想模型函數為f（x）=ax（a>0，a≠1）． 由f（2）=f（1+1）=f（1）·f（1）=4，則將不等式化為f（3x－x2）>f（2），只需證明f（x）的單調性即可．

數學中的轉化比比皆是，但實質都是揭示內在聯系實現轉化． 除極其簡單的數學問題外，幾乎每個數學問題的解決都是通過轉化為已知問題實現的． 從這個意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程，但還應注意轉化中的等價性，即轉化前后必須是等價的、合理的．