探究式學習在高中數(shù)學教學中案例應用探究

摘 要：探究式學習是一種積極的學習方式，能有效地激發(fā)學生的學習動力，有利于提高教學效果． 本文初步探討了探究式學習在高中數(shù)學教學中的應用，希望本文的觀點能為相關研究提供參考．

關鍵詞：探究式；高中；數(shù)學教學

通常我們將科學課中學生主動探究問題的積極的學習方式稱為探究式學習（inquiry learning），具體地講就是在教師的引導下，學生在學習特定的材料、問題及文本時采用科學研究的方法與過程，在獲得科學知識的同時完成理解、體驗并應用科學的研究方法的任務．探究式學習和傳統(tǒng)的學習方式相比有很大的不同，它倡導學生的深入?yún)⑴c，引導學生實現(xiàn)自我感悟及發(fā)現(xiàn)，促進情感變化與認知變化的統(tǒng)一，能推進學生的經(jīng)驗系統(tǒng)與先前體驗的不斷發(fā)展．

■基于“問題導學”的探究式學習

“問題導學”將學生的“學習”作為根本的目的，教師借助于問題載體引導學生找到解決問題的方法． 作為現(xiàn)代教學的思想基石的“問題導學”實現(xiàn)了三個轉(zhuǎn)變，即：教學重心由以往的“教”轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在的“學”，教師的作用由以往的“傳授”轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在的“導”，學生也由以往的“聽受”角色轉(zhuǎn)換為現(xiàn)在的“學”．

案例1 我們可以通過下述的問題來開展“函數(shù)零點的存在性定理”的學習．

讓學生準備一條細線與一支筆，并把它們放在桌上，把細線當做函數(shù)圖象，把筆當做軸，并保持不動，通過活動細線A，B兩個端點，對筆和細線的交點個數(shù)進行觀察，同時思考下述幾個問題：

問題一：若A與B這兩個端點位于筆芯的兩端，那么細線和筆所在的直線的交點個數(shù)有幾個？交點會分布在什么位置？

（1）圖1能否算是一種情況？

（2）圖2能否算是一種情況？

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圖1

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圖2

問題二：若A與B這兩個端點分布在筆芯的一側(cè)，那么細線和筆所處的直線的交點個數(shù)有幾個？

問題三：細線與筆芯在何種情況下必有交點？若出現(xiàn)細線斷的情況，是否可以保證？

問題四：根據(jù)函數(shù)零點的相關概念，上述結(jié)論該怎樣通過數(shù)學語言表達出來？

通過上述的四個問題，學生在教師的引導下自然直觀地確立了函數(shù)零點的存在性定理．

■基于“變式引申”的探究式學習

教師有計劃、有目的地轉(zhuǎn)化命題的方法就是“變式”． 針對以往學過的命題，進行拓展、引申與變式，不僅有利于激發(fā)學生的學習興趣，引導學生進行積極主動的思考，而且也有利于深化學生對思想、方法及數(shù)學知識的理解．

案例2 已知f（x）=x2-2x+b2，若?坌x∈0，■， f（x）＞1成立，求實數(shù)b的取值范圍．

變式：?堝x0∈0，■， f（x0）＞1成立，求實數(shù)b的取值范圍．

引申：已知f（x）=x2，g（x）=■■-m，若對于?坌x1∈［-1，3］，?堝x2∈［0，2］使得f（x1）≥g（x2），求m的取值范圍．

■基于“特殊到一般”的探究式學習

在教學中使用“特殊到一般”的方法不僅有利于培養(yǎng)學生的抽象思維，而且有利于增強學生思維的發(fā)散性及嚴謹性．

案例3 有一壁畫（圖3），A為最高點，和地面的距離是4 m；B為最低點，和地面的距離是2 m． 如果從C處（距地面1.5 m）觀賞它，那么和墻相距幾米時，視角θ最大？

改編題：小明在國慶期間去參觀畫展，在壁畫前方有垂直于地面的透明玻璃墻． 圖4是小明欣賞這幅壁畫的縱截面示意圖，已知壁畫和玻璃墻間的距離OC是1 m，壁畫的高度是2米，壁畫底端和地面的距離BO是1 m. 如果小明身高a m（0＜α＜3），若他在壁畫的正前方的x m處欣賞壁畫，那么觀看這幅壁畫上下兩端所成的視角θ在x為幾米時最大？

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圖3

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圖4

原題為單純的數(shù)字計算，缺乏思維的張力，而聯(lián)系實際改變的試題涉及了分類討論的思想方法，區(qū)分度有所提高．

■基于“構造創(chuàng)設”的探究式學習

從條件到結(jié)論的定向思考是我們解答數(shù)學問題時常用的方法之一，然而有些問題使用此種方法很難找到答案．在遇到這種情況時我們應通過想象、遷移、變形、構造、加工的方法來處理題目中的信息，構建新的數(shù)學模型． 構造法指的是通過建立數(shù)學模型之間的關系，實現(xiàn)命題轉(zhuǎn)換，以找到答案的方法．

案例4 已知sinA＋sin3A＋sin5A＝a，cosA＋cos3A＋cos5A＝b，

求證：當b≠0時，tan3A＝■．

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證明：如圖5，因點M（cosA，sinA），N（cos3A，sin3A），P（cos5A，sin5A）均在單位圓上，連結(jié)OM，ON，OP，則有│MN│=│NP│，于是△MNP為等腰三角形，其重心必在NO上． 又△MNP的重心坐標x＝■（cosA＋cos3A＋cos5A）＝■b，y＝sinA＋sin3A＋sin5A＝■a，故tan3A＝■a÷■b＝■．

■基于“批判反思”的探究式學習

教師在實際的教學活動中進行問題情境的創(chuàng)設時，可以將“認知沖突”作為誘因，教師通過對學生在認知上所存在的矛盾的揭示，將學生置于“心理失衡”的狀態(tài)． 學生為了改變這一不穩(wěn)定的狀態(tài)，就會主動地尋找新的知識點與理論，以期實現(xiàn)知識結(jié)構的平衡． “批判反思”的方式效果明顯：不僅能夠刺激學生的智力心理，激發(fā)學習興趣；而且能及時地糾正學生在認知方面的錯誤，滿足構建知識的需求．

案例4 已知函數(shù)f（x）=│x2+2x-1│，若a＜b＜-1且f（a）=f（b），求證：-1＜ab+a+b＜1．

對此類題目可以采用以下兩種方法來進行解答：

由a2+b2=2-2（a+b）變形為（a+1）2+（b+1）2=4，即為圓的方程，從而產(chǎn)生：

解法1：數(shù)形結(jié)合法，如圖6，點（a，b）（其中a＜b＜-1）的軌跡是以（－1，－1）為圓心，2為半徑的圓的■（不含端點），設t=a+b，由線性規(guī)劃知識可得t∈（-2-2■，-4）．

解法2：參數(shù)法，由（a+1）2+（b+1）2=4及（a＜b＜-1）可設a+1=2cosθ，b+1=2sinθ（cosθ＜sinθ＜0），可規(guī)定θ∈π，■，故ab+a+b=（a+1）（b+1）-1=2sinθ2cosθ-1=2sin2θ-1，所以得ab+a+b的取值范圍為（－1，1）．

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所以ab+a+b的取值范圍為（－1，1），如此一來就簡化了運算過程，思維也比較清晰了．

根據(jù)《考試大綱》的具體要求，命題者應把握好三類試題，分別是：反映數(shù)學素質(zhì)、考查數(shù)學主體內(nèi)容的試題；體現(xiàn)數(shù)形的變化運動的試題；開放型、研究型及探究型的試題． 大綱中的這一規(guī)定要求我們必須轉(zhuǎn)變現(xiàn)有的學習方式．因此，必須加強學生的探究學習，探究式學習應經(jīng)歷“對數(shù)學事實的觀察分析——提出有意義的數(shù)學問題——發(fā)現(xiàn)揭示科學的數(shù)學規(guī)律與結(jié)論——完成證明與解釋”的完整過程．