以問題為中心 凸顯學生主體 構建有效課堂

摘 要：本文記錄了在一節《函數的概念》教學中，如何體現學生主體性的多樣化學習方式，整個教學過程以問題為載體，讓學生經歷了函數概念形成的四個階段：感知認識階段、分析本質屬性階段、概括形成定義階段、應用與強化階段，有效地實現了學生對函數概念和本質的意義建構．

關鍵詞：函數；集合；變量；對應

函數是中學數學的主要內容之一，函數思想作為基本的數學思想，貫穿于中學數學教學的始終．那么，我們應該怎樣從函數概念的重要性的角度重視此概念的教學，在具體的教學過程中又該如何實施對函數概念的教學?筆者于教學中進行了一些思考和實踐，在此談談心得．

創設問題——激發學生主動學習興趣

問題1 初中我們學習過哪些函數？請列舉說明．

學生：一次函數、二次函數、反比例函數……

教師：我們列舉出具體的函數，（板書），y=x+1，y=x2，y=■

教師：觀察這三個具體的函數，它們各自含有幾個變量？

學生：兩個．

教師：如果給定x=1，那么y的值能確定嗎？

學生：能，而且是唯一的．

教師：也就是說，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應． 這就是初中我們學習的函數的定義． （PPT給出初中函數的定義）在這個定義中，你能告訴大家“關鍵字”有哪些嗎？（右側板書）

學生：兩個變量x和y；每一個值；唯一的值．

設計意圖：從學生最近發展區出發，讓學生回憶初中的函數概念，使其體會到用解析式刻畫變量之間的對應關系，把握內涵．

確定問題——引導學生主動觀察思考

教師：事物總是運動變化著的，我們可以感覺到它們的變化：

早晨，太陽從東方冉冉升起；

氣溫隨時間在悄悄改變；

我國的人口隨時間的變化而變化；

……

實例1 表1給出的是我國1949~1999年的人口數據表（單位：十萬）：

教師：你能根據這個表說出我國人口的變化情況嗎？

學生：通過表格體現了我國人口隨年份的變化而變化，對于每一個年份，都會有唯一的人口數與之對應．

教師：根據我們初中學習的函數的定義，這些實際問題都涉及一個函數． 上一章，我們學習了《集合》，你能用集合的語言來刻畫兩個變量之間的關系嗎？

學生：年份數組成集合A，人口數組成集合B，1949對應到542，1954對應到603，……也就是對于A中的每一個值，B中都有唯一的元素與之對應．

教師：很好！我們繼續看兩個實例．

實例2 一物體從靜止開始從490 m的高空下落，下落的距離y（m）與下落時間x（s）之間近似地滿足關系式y=4.9x2．

教師：你能得出物體下落5秒、10秒、20秒時的距離嗎？其中時間x的變化范圍是什么？物體下落的距離y的變化范圍是什么？

學生：物體下落時間x的變化范圍是數集 A=｛x0≤x≤100｝，下落的距離y的變化范圍是數集B=｛y0≤y≤490｝．

教師：A與B之間有關系嗎？

學生：我覺得應該有一種對應關系．

教師：對！從問題的實際意義可知，對于數集A中的任意一個時間x按照對應關系y=4.9x2，在數集B中是否都有唯一確定的下落距離y和它對應．

學生：是！

實例3 圖1為某市一天24小時的氣溫變化圖：

教師：時間t與氣溫θ的關系是否和前兩個實例中的兩個變量之間的關系相似？如何用集合與對應的語言來描述這種關系？

……

設計意圖：在這里精選與本節課主題密切相關的三個實際問題，通過集合的觀點直接引出函數的定義，這就給學生創造了主動觀察思考的條件和空間，充分體現運用教材的新課程理念． 教師主要引導和組織學生觀察和思考，不僅讓學生分別體會到了用表格刻畫變量之間的對應關系、用解析式刻畫變量之間的對應關系和用圖象刻畫變量之間的對應關系，初步感知了函數中蘊涵著集合與對應關系的屬性，而且激活了學生的思維，調動了學習的主動性．

提煉問題——引導學生主動合作交流

問題2 如何用集合語言闡述上述3個實例中兩個變量之間的關系？

（學生活動：先讓學生自主探究，再分小組討論交流）

學生1：每個問題均涉及兩個非空數集A、B．

學生2：存在某種對應法則，對于A中的任意元素x，B中總有一個元素y與之對應．

問題3：你能用集合與對應的語言來刻畫函數的概念嗎？

（首先讓學生嘗試歸納，然后師生共同概括）

一般地，設A，B是兩個非空數集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數，通常記為

y=f（ｘ），x∈A

其中，所有的輸入值x叫自變量，集合A叫做函數y=f（ｘ）的定義域． 集合｛ｆ（ｘ）ｘ∈Ａ｝叫函數ｙ＝ｆ（ｘ）的值域．

設計意圖：能否用集合與對應的語言來刻畫函數的概念是學生能否從集合的觀點理解函數的關鍵，在這里筆者為學生創設了先自主探究，再分小組討論、交流的學習情境，既有效地化解了學習的難點，又調動了全體學生學習的主動性；使學生深化了對函數概念中的集合與對應關系的理解，真正成為知識的意義建構者，而且進一步體會到數形結合的方法，從而豐富了解決數學問題的經驗和方法．

延伸問題——引導學生主動嘗試歸納

問題4 在函數的定義中，你認為哪些是關鍵點？怎樣理解這個概念呢？

學生：在函數的定義中有下面三個要點：

（1）函數是非空數集A到非空數集B上的一種對應；

（2）集合A中數的任意性，集合B中數的唯一性；

（3）值域由定義域和對應關系唯一確定．

設計意圖：促使學生抓住概念中的關鍵詞，多方面理解概念，以達到抓住本質的要求．同時，指出函數的要素為定義域、對應關系、值域． 對于一個函數，當定義域和對應關系確定后，值域也隨之確定，因此，兩個函數相同的等價條件是定義域以及對應關系相同．

反思整堂課，在新課標的指引下，首先是教師扮演著組織、引導和與學生合作的角色，注重為學生搭建自主探究、討論、交流的平臺，通過這個平臺，不但激發了學習主體的探索精神和創造力，而且有效地促進了學習方式的轉變，改變了原來單一的、被動的學習行為，構建了旨在發揮學生主體性的多樣化學習方式，充分體現了教師是學生學習的組織者、引導者、促進者和合作者，學生是活動的主體的現代教學理念．其次是整個教學過程以問題為載體，緊緊圍繞函數概念的本質引導學生分析、探究、歸納，概括出用集合與對應的觀點描述函數的定義和深化對函數概念的理解，讓學生經歷了函數概念形成的四個階段：感知認識階段、分析本質屬性階段、概括形成定義階段、應用與強化階段，有效地實現了學生對函數概念和本質的意義建構．