開發作業寶藏 提高教學效果
2012-04-29 00:00:00葉琪飛
數學教學通訊·高中版 2012年5期
摘 要：作業是鞏固知識的一個重要環節，本文從五個方面闡述了充分開發作業里的“寶藏”，不僅能培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力，而且對形成系統化的知識網絡及提高教學效果也大有益裨．
關鍵詞：作業；開發；課堂教學
《普通高中數學課程標準（實驗）》指出，教師應根據不同的內容目標及學生的實際情況，給學生留下延伸、拓展的空間和時間． 在教學過程中，作業是鞏固知識的一個重要環節． 除此以外，我們還可以在課堂引入、知識發現、課堂小結等中，對練習進行精心設計，充分開發作業里的“寶藏”，不僅能加深對概念、公式、定理的理解，而且能培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力，對形成系統化的知識網絡及提高教學效果也大有益裨．
■課堂引入從作業中來
課堂引入很難，特別是上公開課，上課者普遍對課堂引入頗傷腦筋． 在創設情境上，現在頗流行從學科知識內在的發生發展的矛盾中引入課題，數學知識間存在著邏輯的聯系，往往上位知識是為下位知識服務的，弄清這點，我們大可不必為如何創設情境而傷神，因為學生的學習是一個連續過程，只需將作業適當編排，從而可以設計發現問題的情境．
案例1：人教版必修1 “正弦定理作業設計”
1． 在△ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）．
（1）A=70°，C=30°，c=20 cm；
（2）A=34°，C=56°，c=68 cm.
2． 在△ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）．
（1）b=26 cm，c=15 cm，C=23°；
（2）a=15 cm，b=10 cm，A=60°；
（3）b=40 cm，c=20 cm，C=25°.
3． 在△ABC中，如果有性質acosA=bcosB，試問這個三角形的形狀有什么特點？
4． （試一試）在△ABC中，如果已知b=26 cm，c=15 cm，A=23°，你能解這個三角形嗎？
以上前三題來源于人教社出版的必修5第10頁，第一題題意是在△ABC中，已知兩角及其一邊解三角形，第二題題意是在△ABC中，已知兩邊及其一邊的對角解三角形，學生在嘗試做第4題發現不容易解決，就有一個先行組織者：在三角形中，刻畫邊角關系除了正弦定理，還有其他定理． 學生會對解決這個問題懷有強烈的興趣，會持續關注三角形中的邊角關系． 第二天教師對學生的錯題進行講解，而對潛伏在作業中的問題完全可以充當引入課題《余弦定理》的“爆發點”．
■知識發現從作業中來
高中數學知識全部由探究發現得到是不現實的，而實現局部探究是現實可行的． 創設問題鏈不失為一種好方法，還有一種更為便捷的方法，即把要展示的數學結論埋在課堂練習中，師生一起將數學的本質歸納、挖掘、整理． 按照建構主義觀點，所有知識要經“同化”和“順應”，主動告訴學生不如讓學生自己主動去發現，這樣建構起來的知識才牢固、深化．
案例2：人教版必修1“《對數（一）》”課堂鞏固練習設計
求下列對數的值：
①log28，②lg1，③ln1，④log525，⑤log■16，⑥lg100，⑦lne，⑧log24，⑨log5■，⑩log■■．
在平常的教學中，我們無法做到每節課都以探究形式講授新知識，但是我們可以做到局部探究，以上課堂鞏固作業設計使學生緊緊抓住對數運算是指數運算的逆運算這一實質，重視指數式與對數式的互化，通過教師的引導點撥和學生的思考練習，使學生理解和掌握對數的概念及本質，在學生完成課堂練習后，要指導學生進行反思，從練習中歸納出規律性結論：
對數的兩條性質：“1的對數為0”和“底的對數為1”
及其兩個對數恒等式：①logaan=n（a>0，a≠1）；②a■=b（a>0，a≠1）．
■課堂小結從編擬作業中來
在每節課教學即將結束時，教師引導學生把一節課的知識和主要內容做提綱挈領式的總結，然而這一教學環節往往流于形式，常見是將小結任務拋給學生：“同學們，你們對本節課有什么收獲??？”學生七嘴八舌發言后，教師加以總結，然后將“數形結合、函數與方程、轉化與化歸、分類討論”四大思想方法加以提高． 殊不知此類總結放之四海而皆準，而學生真正收獲多少還是一個疑問．其實在課堂小結環節讓學生編作業就是一種行之有效的方法．
案例3：人教版必修5“基本不等式■≤■”學生編寫的作業部分摘錄
在本節課接近尾聲時，學生對基本不等式有初步了解，在課堂小結中若就對均值定理的應用三大條件“一正、二定、三等號”重復一遍，則絲毫看不出學生對知識的深度理解． 此時最好的方法就是還課堂于學生，讓學生就本節課所學新知識編擬作業，學生一定會興趣高漲，選擇質量好的作為當天作業． 真正做到“我的作業我做主”，以下就是學生編寫的作業部分摘錄：
①當x>0，求f（x）=x+■的最小值；
②當x<0，求f（x）=x+■的最大值；
③當x>3，求f（x）=x+■的最小值；
④當x∈（0，π），求sinx+■的最小值．
學生在編寫作業①就是要在使用均值定理中的所謂“正”，即要求參與應用的數或代數式是正數這一要求，這在該編擬題中體現出來． 參與的式子結構的和或積要為定值，如果達不到這一要求，就有改造題目的需要，比如在③中對題目進行f（x）=x+■=（x－3）+■+3變形． 學生能設計出作業④說明其已明白在均值定理中等號成立的條件，在該式中利用均值定理求最值顯然無能為力，而應求助于學生熟知的“耐克函數”：f（x）=x+■的單調性進行求解．
■體驗感悟從作業中來
波利亞曾說，掌握數學意味著學會解題． 復習課實質是要將數學知識轉化為如何解題的“催化課”，不能將知識與能力簡單地割裂開來． 復習的目的是為了更好地梳理知識，并要求在學生認知規律的基礎上，用科學的方法和計劃，將學生腦中的不成熟的、不成系統的知識進行內化和提升；使學生知識由薄到厚，再由厚到薄，最后又變為厚；以知識為載體，提升能力為目的，在解題中體驗方法、經歷困惑、迷茫到豁然開朗，從而使學生體會到數學學科的本質——理性精神． 老師們更應在如何上好復習課中傾注更多心血，力求復習課上出新花樣，上出精彩來，從而幫助學生形成系統的數學學科知識，具有在不同問題情境中解決問題的能力，從而真正做到輕負高效．
案例4：“求參數取值范圍的復習課”例題、練習題設計
上課之初：教師板書（2011年浙江理科第22題）
設函數f（x）=（x－a）2lnx，a∈R ．
（Ⅱ）求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立．
（先讓學生思考醞釀，教師在課堂里巡視，等教室里有輕微騷動聲時，接著教師與學生共同應對第2問）
由于x∈（0，3e］時，lnx>0，故問題可以參數分離為：x－■≤a≤x+■恒成立，則只要求函數g（x）=x－■（1
課堂作業：（2006年全國卷Ⅱ理科第20題）
設函數f（x）=（x+1）ln（x+1），若對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實數a的取值范圍． 讓學生嘗試完成，學生紛紛利用參數分離法進行求解，顯然當x=0時，不等式f（x）≥ax對任意的實數a恒成立，故只要保證對所有x>0，不等式f（x）≥ax恒成立即可，即a≤■對任意的x>0恒成立．
令g（x）=■=■，x>0，則a≤［g（x）］min，由于g′（x）=■，令h（x）=x－ln（1+x），x>0，則h′（x）=1－■>0，則h（x）在（0，+∞）上單調遞增，則h（x）>h（0）=0，從而g′（x）>0，故g（x）在（0，+∞）上為增函數，從而g（x）在（0，+∞）上沒有最小值．
學生在這種“憤”“悱”狀態之下更愿意接受對“含參問題”的新的求解方法——整體構建函數再分類討論的方法． 學生的作業是展示其思維的過程，在數學教學中，教師既要向學生展示自己的思維方式，了解學生在解決問題時遇到的困惑和挑戰，與學生共同經歷解決問題的艱辛與曲折；同時，也要引導學生暴露自己的思維過程，幫助學生樹立戰勝困難的信心，優化解決問題的方法，與學生共同分享數學學習的成功與快樂．
■上下節課的銜接從作業中來
教師布置作業既可以鞏固學生課堂上所學的數學知識、數學思想方法、反饋教學情況，又可以為下一堂課做適當的準備，從而發揮出作業銜接課與課的作用．
案例5：學習導數的概念第一節平均變化率后，通過布置以下作業來達到課堂間的銜接
1． 已知函數f（x）=x，分別計算f（x）在下列區間上的平均變化率
（1）［2，4］，（2）［2，3］，（3）［2，2.1］，（4）［2，2.01］，（5）［2，2.001］，（6）［2，2.0001］
2． 思考：已知函數f（x）=x，f（x）在x∈［2，2+Δt］時的平均變化率；如果Δt無限接近于0，則f（x）在x∈［2，2+v1］］時的平均變化率無限接近于________．
通過這樣的布置作業，既能鞏固平均變化率的概念，又能為下一課中的瞬時變化率——導數的學習做鋪墊．
“講之功有限，習之功無已”． 說明我們不僅要重視課堂上知識的傳授，更要重視“習行之功”，重視作業這個“聚寶盆”，要開發利用好，并且在教學中有所創新和發展，使學生在作業中掌握技能，在作業中形成能力，在作業中發展思維． 在日常教學中，我們教師應就地取材、精心設計、努力挖掘，充分發揮作業多層面教學的功能，力求使教學的有效性達到最大效果．
