如何在教學中實施“變式教學”

摘 要：變式教學既是一種教學手段，又是一種重要的教學思想方法和行之有效的教學模式．變式教學有助于學生對概念多角度的理解，經歷知識的發生、發展、形成過程，形成知識體系，有助于培養學生分析、歸納、解決問題的能力，有助于激發學生的學習興趣．

關鍵詞：變式教學；數學教學

在數學教學中經?？吹竭@樣的現象，很多學生往往在題海中拼搏，卻不善于思考、總結、變通．為了改變這一現象，提高學生的學習興趣，培養學生良好的思維品質，在高中數學教學中，采用變式教學是比較好的形式．變式的目的在于使學生了解哪些是事物的本質特征，哪些是事物的非本質特征，讓學生在變式中思維，從而掌握事物的本質和規律．通過變式教學在課堂上展示知識發生、發展、形成的完整的認知過程，有利于培養學生研究問題、探索問題的能力，也是培養學生思維訓練的重要途徑．下面，筆者就結合自己的教學實踐，談一下如何在教學中實施變式教學．

■對數學概念的變式教學

高中數學概念具有抽象性、嚴謹性的特征，學生不易理解．通過變式教學可以創設情境，展示概念的發生、形成的過程，讓學生了解引入概念的必要性，將有助于他們對概念本身的掌握． 通過概念性變式對形成的概念從多個不同的角度進行理解，突出概念的本質．

案例一：異面直線概念教學

得出異面直線定義以后，設置以下的變式判斷：①不相交和不平行的直線稱為異面直線；②空間兩條不相交直線是異面直線；③分別在兩個不同平面內的兩條直線是異面直線；④不同在一個平面內的兩條直線是異面直線．

通過一組相似的概念讓學生對其正誤進行判斷，從而獲得概念的本質屬性，在具體解決問題的過程中能正確分辨本質與非本質特征．

案例二：函數單調性的概念教學

函數的單調性是學生進入高中后較早接觸的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于具體形象思維階段的高一學生來說，有較大的學習困難．

設f（x）是定義在R上的函數，

①若存在x1，x2∈R且x1

②若存在x1，x2∈R且x1

③若存在x2>0對于任意x1∈R，都有f（x1）

④對任意x1，x2∈R且x1

以上命題正確的選項是：

A． ①③ B． ②③

C． ②④ D． ②

通過上述變式，強調了函數單調性的x1，x2有三個特征：一是x1，x2同屬于一個單調區間；二是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字絕不能丟掉；三是有大小，通常規定x1

另外在抽象出函數單調性概念的時候，可以給出概念的非標準形式：

對于定義域中的某個區間［a，b］，任意的x1，x2∈［a，b］，都有■>0，則函數在區間［a，b］上是單調遞增的，為以后學習導數提供基礎．

新授概念時，在單一背景下提出的概念一般都是概念的標準形式，通過變換問題的背景，得到概念的非標準形式，從而弄清概念的內涵，屬于對概念的具體層面掌握．變式的形式豐富多彩，對于幾何概念，較多的可以采用圖形變式，通過直觀形式刺激，形成概念；對于陳述性語義的概念，則可以通過語言的變式；而用數學符號表示的概念則可以利用符號變式． 當然，上述的概念變式形態不是隔閡的，而是相互轉化和相互聯系的．

■對課本的例題、習題采用變式教學

高中的數學題目很多，很多學生會做了一個題目，但是換了一個同類型的題目就不會做了，很多學生采用題海戰術，負擔很重． 教師要研究題根，少講精講，采用變式教學，教會學生數學本質及其思想和方法．

案例三：高中數學北師大版必修2第25頁例2：如圖1所示，空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點． 求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

一般教師講完這道題就忙于去講下一道例題，結果學生在遇到類似的題目還是不會． 在教學中如果恰當地運用變式，那么可以幫助學生深入地了解空間四邊形的性質．

首先可通過操作對空間四邊形有個直觀的認識，學生們用一張四邊形的紙做出一個空間四邊形，把這個紙做的空間四邊形放在桌子上，畫出它的圖形，如果把另外一條對角線連結起來，這個圖形是三棱錐嗎？

■

圖1

變式：（如圖2）已知在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點，F，G分別是BC，CD上的點，且■=■=■，求證：四邊形EFGH是梯形并且三條直線EF，GH，AC交于一點．

■

圖2

變式2：（如圖3）空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，并且AC⊥BD，求證：四邊形EFGH是矩形．

變式3：空間四邊形ABCD中，E，F，G分別是AB，BC，CD的中點，平面EFG交AD于H，求證：四邊形EFGH為平行四邊形．

變式4：（如圖4），在四面體中ABCD中，截面EFGH是平行四邊形．求證：AB∥平面EFGH．

■

變式5：（如圖5），已知異面直線AB，CD都平行于平面α，且AB，CD在平面α的兩側，AC，BD分別與平面α相交于M，N兩點，求證：■=■．

■

圖5

引導學生回顧以上問題的思維過程，歸納思維規律：

連結空間四邊形的對角線，將空間問題轉化為平面問題加以解決．

■用于問題解決的變式教學

變式教學在數學教學中還常常用于一題多變、一題多解、一法多用． 一題多變，是對問題的條件或者結論做出適當的引申和變化，而題目的實質不變，對于比較困難的題目，可以通過一系列的變式作為鋪墊，將復雜問題化歸為簡單的問題，讓學生從易到難，循序漸進，引導學生分步解決問題，培養學生的發散思維． 一題多解，從不同的角度可得到不同的思路，廣闊地尋求解法，有助于拓寬解題思路，發展學生的思維能力，提高學生分析問題的能力． 一法多用，用同一種方法解決一類相似的問題，有助于提高學生的化歸能力和探究能力．

案例四：

①?搖數列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+1，若存在c，使數列｛an+c｝為等比數列，求｛an｝的通項公式．

②?搖數列｛an｝滿足a1=1，an+1=an+2n，求｛an｝的通項公式．

③?搖數列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+2n，求｛an｝的通項公式．

④?搖數列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+2n，求｛an｝的通項公式．

⑤?搖數列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+n，求｛an｝的通項公式．

通過這些變式總結出求一類數列通項的方法，對于an+1=pan+q（p≠1，q≠0）構造形如an+1+λ=p（an+λ）的數列，或者構造形如an+1－an=p（an－an－1）的數列． 對于an+1=pan+qn可以變形為■=■■+■的形式，再利用上面的轉化方法轉化為■+A=■■+A的形式，或者構造形如an+1+λqn+1=p（an+λqn）的形式． 對于an+1=pan+An+B可以構造形如an+1+λ（n+1）+μ=p（an+λn+μ）的形式．

在數學教學中，采用一題多變、一題多解、一法多用的形式教學，有助于啟發學生思維，開拓學生視野，培養學生思維的廣闊性和深刻性．

在數學教學中適當地運用變式教學能夠引起學生學習數學的興趣，充分調動學生學習的積極性，能夠幫助學生深刻理解各類概念、性質、方法等，能夠有效地培養學生的歸納能力和分析問題、解決問題的能力，最終達到提升學生的思維能力和創造能力的目的．