習(xí)題課教學(xué)中提升學(xué)生思維水平的優(yōu)化方法

摘 要：減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，切實提高教學(xué)質(zhì)量，是現(xiàn)代教學(xué)的題中之意． 本文以有效練習(xí)為切入點，優(yōu)化教學(xué)策略，落實“減負(fù)增效”教育方針．從教學(xué)實例出發(fā)，在習(xí)題課教學(xué)中以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為主旨，從選題、講題及題后反思三個方面優(yōu)化教、學(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)、發(fā)展和提高．

關(guān)鍵詞：習(xí)題教學(xué)；題組；學(xué)生說題；反思；提高思維水平

新課改提倡優(yōu)質(zhì)高效的課堂教學(xué)．那么，什么樣的數(shù)學(xué)課堂才是高效的呢？筆者認(rèn)為一堂課是否高效取決于是否牢牢吸引住學(xué)生，主要表現(xiàn)在課堂上學(xué)生是否在積極思考，而不是被動聽講；學(xué)生是否在探索問題解決的方法，而不是簡單模仿和記憶；學(xué)生的思維水平是否得到有效的鍛煉．在平時的教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生能夠很好地完成課本習(xí)題，卻不能在考試中取得好的成績． 是否必須解大量的課本外的題才能真正提高解題能力？學(xué)生已能正確地完成課本習(xí)題，思維能力卻不見提高． 這個問題，在最近一年中一直困擾著筆者． 實質(zhì)上這個問題是教師對教育規(guī)律和練習(xí)設(shè)計把握不當(dāng)?shù)谋憩F(xiàn)．為了切實提高教學(xué)質(zhì)量，減輕學(xué)生過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，以有效練習(xí)為抓手，優(yōu)化教學(xué)策略，落實“減負(fù)增效”教育方針，這就要求教師積極引導(dǎo)學(xué)生參與課堂教學(xué)活動中，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)論認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動的核心是數(shù)學(xué)思維活動．因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生具有良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)，這對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量有著十分重要的意義． 本文主要是在習(xí)題課教學(xué)中教師如何設(shè)計習(xí)題、如何進(jìn)行習(xí)題講解及習(xí)題后的反思，這三個環(huán)節(jié)如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力談一些做法．

■設(shè)計題組，培養(yǎng)學(xué)生解題的思維能力

習(xí)題課教學(xué)少不了教師對習(xí)題的設(shè)計和選取．設(shè)計有效的例題是培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)質(zhì)思維品質(zhì)的前提．實施題組教學(xué)，是有效培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的重要手段之一．所謂題組，簡單地說就是兩個或兩個以上具有內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)題組的組合．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科本身的特點之一就是其內(nèi)在的嚴(yán)密的邏輯性．把那些具有內(nèi)在邏輯的、能夠揭示數(shù)學(xué)規(guī)律的題目配成題組，通過它們的“教”與“學(xué)”，對數(shù)學(xué)教學(xué)目的的實現(xiàn)可以起到事半功倍的效果．

1． 變換題設(shè)，挖掘習(xí)題含量

這類題組是以基本問題為主干的一套反映知識各個側(cè)面的題組，幫助透徹理解知識之間的聯(lián)系．即通過對問題的題設(shè)進(jìn)行變換，對同一個問題從多個角度去研究，可以增強(qiáng)學(xué)生解題的應(yīng)變能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和想象力，從而培養(yǎng)創(chuàng)新意識．

例如 已知，如圖1，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．

求證：AB=AC

分析：本題可通過平行線的性質(zhì)：等角對等邊來證明．

變式1：結(jié)論AB=AC和題設(shè)AD∥BC對換．

此時需用等邊對等角、三角形外角性質(zhì)和平行線的判定等知識來證明．

變式2：結(jié)論AB=AC和題設(shè)∠1=∠2對換．

此時需用等邊對等角、平行線的性質(zhì)等知識來證明．

變式3：增加題設(shè)，AF為△ABC的中線，結(jié)論換為AF⊥AD．

此題實質(zhì)是原題的補充，即證得AB=AC后，再由等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)而得AF⊥BC，結(jié)合AD∥BC得AF⊥AD．

變式4：增加題設(shè)，過AC的中點H作AD的垂線交AE于點G，變換結(jié)論為：AG=■AB（如圖2）. 此時，通過三角形全等得AG=AH，再結(jié)合原題可得證．

由上述對原題的四種變換得到的題組，把平行線的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行了綜合訓(xùn)練，提高了學(xué)習(xí)的效率，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力．

2． 歸類同類習(xí)題，有效挖掘共性?搖

人的認(rèn)識總是由淺入深、由簡單到復(fù)雜的．在習(xí)題課中采取低起點、小步子、遞進(jìn)式，用題組的方式對某一個知識點進(jìn)行拓展，從而加深對同一類問題的理解．這種題組以一種解題方法為核心的一套反映各種不同應(yīng)用情況的題組，幫助學(xué)生完全掌握解題方法．對于課本中的同一難點知識或難度大的題目，可以圍繞難點，按照從易到難的梯度設(shè)計一系列小題，以化大為小，各個擊破．這樣做不僅能提高學(xué)習(xí)效率，還可以讓學(xué)生通過挖掘題目共性，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性．

例如

例1 如圖3，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最小．

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圖3

例2 如圖4，A，B在直線l的同側(cè)，在l上求一點，使得PA+PB最小．

■

圖4

例3 在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，－2），B（4，2）兩點，現(xiàn)另取一點C（1，n），當(dāng)n=_______時，AC+BC的值最小．

例4 如圖5，在銳角△ABC中，AB＝4■，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，則△MNB周長最小是______．

■

圖5

例5 恩施土家族苗族自治州自然風(fēng)光無限，以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世． 著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路x同側(cè)，AB=50 km，A，B到直線x的距離分別為10 km和40 km. 要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P，向A，B兩景區(qū)運送游客．小民設(shè)計了兩種方案，圖6是方案一的示意圖（AP與直線x垂直，垂足為P），P到A，B的距離之和S1=PA+PB；圖7是方案二的示意圖（點A關(guān)于直線x的對稱點是A′，連結(jié)BA′交直線x于點P），P到A，B的距離之和S2=PA+PB．

（1）求S1，S2，并比較它們的大小；

（2）請你說明S2=PA+PB的值為最小；

（3）擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直，建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系，B到直線y的距離為30 km，請你在x旁和y旁各修建一服務(wù)區(qū)P，Q，使P，A，B，Q組成的四邊形的周長最小． 并求出這個最小值．

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圖8

例6 如圖9，拋物線y=－■x2－■■x+■交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，頂點為D．

（1）求點A，B，C的坐標(biāo)；

（2）把△ABC繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形AEBC，求E的坐標(biāo)；

（3）試探求：在直線BC上是否存在一點P，使得△PAD的周長最小．

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圖9

若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

以上各題有著共同性，都是利用軸對稱性質(zhì)來解決路徑最短問題． 例1利用兩點之間線段最短的基本概念，只用連結(jié)AB即可輕松解決． 本題雖然簡單，但卻是所有題目的基礎(chǔ)． 例2直接求點Ｂ關(guān)于直線l的對稱點B′，連結(jié)B′A可得到P． 例3實質(zhì)是把題目的背景放在坐標(biāo)系． 例4比前四個問題更深一層，學(xué)生有前三個的解題經(jīng)驗，易想出解決的方法．例5是分別求A關(guān)于x軸的對稱點A′，B關(guān)于y軸的對稱點B′，連結(jié)A′B′并求出其解析式，進(jìn)一步求出P，Q兩點的坐標(biāo)． 例6是一道綜合題，與函數(shù)有機(jī)結(jié)合，最后一問是學(xué)生的難點，如果學(xué)生有了前面的基礎(chǔ)，相信會有足夠的信心去迎接挑戰(zhàn)．

■變“教師講題”為“學(xué)生說題”，激發(fā)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)思維

部分教師在平時的教學(xué)中片面追求課堂進(jìn)度，常常就題論題，強(qiáng)化解決問題的常規(guī)思維，反復(fù)操練，從頭到尾，流水賬似的一一分析講解題目，一部分學(xué)生忙著記筆記，完全成為知識的容器；一部分學(xué)生只關(guān)注結(jié)果，記憶結(jié)論，形成了不良的思維定式，以至考試時受到以往知識的負(fù)遷移，造成不應(yīng)有的失誤． 習(xí)題課中讓學(xué)生參與說題，是有效培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的另一個重要手段．

所謂“說題教學(xué)”，是指讓學(xué)生在課堂上說題目的條件、結(jié)論、涉及的知識點（包括概念、公理、定理、原理等）；說條件、結(jié)論之間的轉(zhuǎn)化；說與學(xué)過的哪一類問題相似；說可能用到的數(shù)學(xué)思想方法；說自己的想法和猜測；說解題方法是如何想到的；說為什么這樣想．教師則根據(jù)學(xué)生交流的情況適時點撥、引導(dǎo)，避免學(xué)生離題太遠(yuǎn)．

例如，P是圓內(nèi)一點且⊙O的半徑為5，OP為3，求經(jīng)過圓內(nèi)一點P的弦的整數(shù)條數(shù)．

學(xué)生們爭相告訴答案，有的說3條，有的說4條．

筆者先讓認(rèn)為3條的學(xué)生講解．那學(xué)生分析：圓內(nèi)最長的弦是直徑10，而最短的弦是8，經(jīng)過點P的弦有無數(shù)條，這無數(shù)條弦中整數(shù)的弦是9，所以共有3條．

“講得頭頭是道！”筆者帶頭鼓掌．

然后筆者又請認(rèn)為4條的學(xué)生申述理由．他們指出整數(shù)為9的弦有對稱的2條，所以總數(shù)應(yīng)是4條． “這下思維更嚴(yán)密了！”筆者又帶頭鼓掌．

筆者接著問：“這個命題我們能否改變一個條件，使它整數(shù)的弦可以再多一些呢？”

馬上有學(xué)生舉手了． 他說：“可以把半徑加長，改成6，此時，最長的弦是12，最短的弦=2■=6■>10，呀，只有3條．”

又有學(xué)生試圖把半徑縮短，改成4，那么最短的弦=2■=2■>5，那么整數(shù)有6、7、8，其中6、7各有兩條，共5條，學(xué)生們熱烈鼓掌．

沉默了幾分鐘，有學(xué)生改變思路，說把弦心距OP改成4，那么最短的弦=2■=6，那么6與10之間有整數(shù)7、8、9，加上對稱的3條，所以此時總數(shù)有8條．

未等筆者說好，學(xué)生們已經(jīng)是掌聲如潮了．

課堂上通過學(xué)生“說題”，是教與學(xué)的交往和互動，師生雙方相互交流、相互溝通、相互啟發(fā)、相互補充． 在這個過程中，教師和學(xué)生分享彼此的情感，使學(xué)生成為課堂的主體，教師為主導(dǎo)． 教學(xué)中學(xué)生“說題”激發(fā)各個層次學(xué)生的參與欲望，而練習(xí)題中最困難部分的攻堅又是全班學(xué)生共同開動腦筋，群策群力，這是一種很好的思維訓(xùn)練，可以拓展學(xué)生思維的輻射度，在培養(yǎng)他們思維品質(zhì)的深刻性、獨創(chuàng)性、靈活性、敏捷性等方面起到很好的效果．

注重題后反思，提高學(xué)生的思維水平

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出：“通過對解決問題過程的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗”． 學(xué)會反思，善于積累，才能對自己的學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)方法進(jìn)行監(jiān)控，才能為自己的學(xué)習(xí)效果承擔(dān)責(zé)任． 實現(xiàn)新課改精神的關(guān)鍵是幫助學(xué)生形成正確的學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力，是學(xué)生的一種重要的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力，是學(xué)生進(jìn)行高水平、高效率、高質(zhì)量的數(shù)學(xué)認(rèn)知所必不可少的環(huán)節(jié)和本領(lǐng)，對學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)提高和終身發(fā)展具有特別重要的意義．

除了反思習(xí)題的解題過程中所用的知識點，反思解題的數(shù)學(xué)思想方法外，反思題目能否變換引申，改變題目的條件，會導(dǎo)出什么新結(jié)論；保留題目的條件，結(jié)論能否進(jìn)一步加強(qiáng)；條件作類似的變換，結(jié)論能否擴(kuò)大到一般；思維方法能否遷移．

例如 如圖10，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，求證：∠B＝∠C．

圖10

變形：?搖已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，AD＝15，AB＝45，求BC的長．

分析：?搖該題主要思路是平移腰將梯形分成等腰三角形和平行四邊形．結(jié)合平行四邊形及正三角形的邊長特征來解決問題．通過變形，使學(xué)生進(jìn)行全方位的思考，這常常是學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知識、認(rèn)識新知識的突破口．

又如：?搖求證：順次連結(jié)四邊形各邊中點所組成的四邊形是平行四邊形．

分析： 此題除了要反思一題多解，還可以將題設(shè)變換為特殊的“平行四邊形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”等情況，以有助于開拓學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生思維插上想象的翅膀．

反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本特征是它的探究性，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動探究其中的問題和答案，建構(gòu)自己對問題的理解，產(chǎn)生超越已有信息外的信息． 學(xué)生在平時做題過程中養(yǎng)成解題后的反思習(xí)慣，善于在反思上下工夫，既可促使其牢固掌握“雙基”，促進(jìn)知識的有效遷移、同化和深化對問題的理解，又可提高解題效率和正確率，同時也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、教師搞好數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效措施，更是一種提升學(xué)習(xí)能力的好辦法——學(xué)生在反思中獲得方法、在反思中升華思維、在反思中提高能力、在反思中重塑自我、超越自我．

培養(yǎng)學(xué)生解題能力的途徑和方法很多，但無論哪種途徑和方法，最根本最相通的是思維的訓(xùn)練． 如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中優(yōu)化教學(xué)過程，就可以幫助我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生所具有的學(xué)習(xí)能力和潛在能力，知道如何為這些能力提供幫助，用我們的教學(xué)風(fēng)格影響學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，以培養(yǎng)學(xué)生更好更敏捷的思維能力．