數學解題與學生反思意識的培養

摘 要：學生對于學習數學，需進行反思性學習． 反思是數學活動的核心和動力，要指導學生反思，培養學生反思意識；通過反思，提高學生解題能力，讓學生理清頭緒，探求一題多解．

關鍵詞：數學解題；反思意識；一題多解

目前，學生對于學習數學，由于數學認知結構水平的限制，表現出對知識不求甚解，熱衷于做大量題，而不善于解題后對題目進行反思． 而數學的反思性學習這一環節，卻是數學學習活動的最重要的一個環節． 不善于反思，缺乏解題后對解題方法、數學思維的概括，致使掌握知識的系統性較弱、結構性較差，解題能力得不到提高． 為了提高學生的數學學習效率，必須培養學生的反思意識，使他們有時間、有機會對自己的解題過程進行反思． 荷蘭著名的數學教育家弗賴登塔爾指出：反思是數學活動的核心和動力． 因此，加強解題反思教學，提高高考復習效率，訓練學生進行有效的解題反思勢在必行． 本文擬從以下幾個方面作些探究．

■指導學生反思，培養學生反思意識

反思就是從一個新的角度，多層次、多側面地對問題及解決問題的思維過程進行全面的考察、分析和思考，從而進一步深化對問題的理解，揭示問題的本質，探索解決的一般規律，進而產生新的發現． 反思的目的也不僅僅為了回顧過去，或培養元認知意識，更重要的是指向未來的活動． 尤其是今天，當我們以創造性意識和解決新問題的能力，來作為衡量和評價學生數學學習成績優劣的主要標準時，更應該重視引導和激勵學生在數學活動中進行反思性學習．在學習過程中，反思是必不可少的一個重要環節． 它有助于學生對客觀事物中所蘊涵的數學模式進行思考，從而幫助他們從題海中解脫出來，更加清晰地認識問題、理解問題．通過反思可以提高數學意識、優化思維品質；通過反思可以溝通新舊知識的聯系，促進知識的同化和遷移，提高學習效率；通過反思可以拓寬思路、優化解法、完善學習活動中的積極性和主動性，促進學生的學習活動成為一種有目標、有策略的主動行為，不斷地發現問題、提出問題，從而有效地培養學生勇于探索、勇于創新的精神． 平時，教師應該積極地指導學生反思，培養學生反思意識．

■通過反思，提高學生解題能力

1． 反思解題的思路，從而培養學生審題能力

解題思路就是將理解題意時所獲信息和頭腦中的信息結合起來，進行加工、重組與再生，使思維向目標靠近，實現問題解決的過程． 因此反思解題思路的形成過程就是對信息加工、重組與再生的反思，探索如何實現從初始狀態到目標狀態轉化． 反思自己是否很好地理解了題意，是否弄清了題干與設問之間的內在聯系，這個題求什么？知道什么？知與求之間有什么內在的關系？一開始自己是怎么想的？走過哪些彎路？碰到了哪些釘子？為什么會走這些彎路，碰到這些釘子的？之中有什么規律性的經驗可以吸取？我的思考與老師或同學的思考有什么不同，其中的差距是什么？其原因是什么？解這樣的題目要用到哪些知識？有什么樣的常規方法？有沒有特殊的方法？這個題的有效的突破口在哪里？如何較快地找到解題的突破口？選擇哪條途徑？……等等． 通過這樣的反思，解題思路就會比較自然、有條理，從而大大地提高了解題觀點和思維層次，審題能力也會躍上一個新的平臺．

2． 反思解題的過程，從而理清頭緒

在平時講題和做題過程中，引導學生養成解題后積極反思解題過程的習慣． 這不僅僅是解題的回顧或體驗，而是深究數學解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，分析解題的過程中有沒有思維回路，哪些過程可以合并或轉換，有沒有更好的解法，積極尋求其他可能的解，拓展思路，優化思維方式，更好地理清解題頭緒，提高解題能力．

案例1：從圓（x－1）2+（y－1）2=1外一點P（2，3），向該圓引切線PA，PB，切點為A，B，求直線AB的方程．

大部分的學生都是直接從條件入手來做的．

方法一：根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，先求出兩條切線的方程分別是x=2和3x－4y+6=0，然后將切線方程和圓方程聯立，求出切點A（2，1），B■，■，從而可以求出直線AB的方程為x+2y－4=0．

這種解法是大部分學生所采用的，因為它符合學生的思維特點，學生比較容易掌握，但是其中求切點的運算量比較大． 因此，引導學生反思解題的過程，有沒有更加簡潔的求切點的方法？學生馬上發現A，B兩點原來可以看成兩圓的公共點．?搖?搖?搖?搖?搖

方法二：設已知圓的圓心為C，根據平面幾何的知識可知：切點是以PC為直徑的圓與圓C的交點，以PC為直徑的圓的方程是x－■2+（y－2）2=■①，又圓C方程是（x－1）2+（y－1）2=1②，兩式相減可得x+2y－4=0③，將③代入②，求得切點為A（2，1），B■，■，從而可以求出直線AB的方程為x+2y－4=0．此法充分運用平面幾何的性質，減少了運算量，簡化了解題過程．再進一步引導學生將所求直線AB的方程與③式比較，發現仍有值得改進的地方．

方法三：設切點坐標為（x，y），由方法二知，切點坐標滿足方程①和②，則也滿足③，說明了A，B兩點在③式所表示的直線上，因此，方程③即為過切點A，B的直線方程．

此法避免了求切點，過程更簡潔．通過這一改進過程，學生更好地掌握了兩圓的相交弦問題，開闊了學生的視野，使學生的思維逐漸朝著靈活、廣闊的方向發展，使學生在解題過程中迅速尋找出最佳解題方案，提高了學生靈活解題的能力，更好地理清了解題頭緒．

3． 反思解題的方法，探求一題多解，從而提高綜合解題能力

數學知識有機聯系，縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法也是途徑繁多的，但最終都能殊途同歸． 在解題訓練時要求學生不能僅僅滿足于一種解法，應該鼓勵他們進一步思考有沒有其他的解法． 即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，最優最簡潔的解法． 不能解完題就此罷手，如釋重負，應該進一步反思，有沒有其他的解法，探求一題多解．從中鑒別各種方法的作用與最佳方法，認識解題的核心問題與共同本質． 一題多解可以提高思維的靈活性，拓展學生的思路，培養學生的發散思維，從而可以提高解決數學綜合問題的能力．

案例2：（2010全國大綱卷理10）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線y=2x－4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB=_____．

解法一（向量法）：

y=2x－4，y2=4x?圯A（1，-2），B（4，4），而F（1，0），于是■=（0，-2），■=（3，4），故cos∠AFB=■=－■．

解法二（拋物線定義法）：

由y=2x－4，y2=4x?圯A（1，-2），B（4，4）． 由拋物線定義，有AF=2，BF=5，又AB=3■． 由余弦定理得，cos∠AFB=■=－■．

解法三（數形結合法）：

如圖1，由y=2x－4，y2=4x ?圯A（1，-2），B（4，4）． 因為F（1，0），所以AF⊥x軸． 因為BF=5，過點B作BD⊥x軸于D，所以sin∠BFD=■=■，所以cos∠AFB=cos（90°+∠BFD）=－sin∠BFD=－■.

■

圖1

解法四（面積法）：

如圖1，S△AFB=S△FBC+S△FAC=■FC·（FA?搖+BD）. 容易求得AF=2，BF=5，FC=1，BD=4，

所以■FA·FB·sin∠AFB=3?圯sin∠AFB=■，

所以cos∠AFB=－■（∠AFB為鈍角）．

一題多解的教學價值不是單純為了讓學生知道這道題有多種解法，而是促使學生再思考，學會從不同角度、不同的方法去審視、去思考，進而溝通知識之間的縱橫聯系，開闊學生的解題思路，訓練和培養學生的發散思維能力，提高綜合解題的能力．

4． 反思錯題的原因，從而幫助學生彌補知識漏洞

心理學家蓋耶認為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻．” 錯誤是正確的先導，錯誤是通向成功的階梯，學生犯錯的過程應看做是一種嘗試和創新的過程． 做錯題目并不可怕，可怕的是沒有從錯誤中找到原因，一錯再錯． 在平時的作業和考試中，學生總會有不少題目做錯，在這些錯題的背后，往往隱藏著學習知識過程中產生的漏洞．

筆者所在學校的一次高二月考中有一道填空題，有一半以上的學生出現了錯誤．

案例3：若平面上的動點P（x，y）到定點F（1，0）的距離比到y軸的距離多1，則P的軌跡方程是________．

答案是：當x≥0時，y2=4x；當x＜0時，y=0．

但是大部分的學生認為答案是y2=4x． 因為P到定點F（1，0）的距離比到y軸的距離多1，所以點P到定點F（1，0）的距離與P到定直線x=－1的距離相等，所以由拋物線的定義可知，點P的軌跡是以F（1，0）為焦點，x=－1為準線的拋物線，所以所求的P的軌跡方程是y2=4x．

錯誤出在哪里呢？原來拋物線的定義中，有個注意點，那就是定點F不在定直線l上． 但是當定點在定直線上時，這時點的軌跡是過定點F且與直線l垂直的一條直線． 在這題中，當x≥0時，定點F不在定直線l上，所以是拋物線；但是，當x＜0時，定點F在定直線l上，所以是直線了． 學生通過對這題錯誤的反思，更加深刻地理解了拋物線的定義，同時也能夠很好地理解橢圓與雙曲線定義中的注意點，從而幫助學生彌補了知識上的漏洞．

總之，學習數學的過程與數學解題緊密相關，而數學能力的提高在于解題的質量而非解題的數量． 提高學生解題質量，必須要進行反思． 解后反思是一個知識小結、方法提煉的過程；是一個吸取教訓、逐步提高的過程；是一個收獲希望的過程． 反思性數學學習的形成要靠教師的示范、引導，但重要的是要學生自己學會反思，并在數學學習中自覺地進行反思，強化反思意識，增強反思毅力，培養反思習慣．