有效作業的幾點思考

摘 要：在有效教學的環節中，有效作業是課堂教學有效性能否達成的關鍵一環． 本文針對高中數學作業的現狀，在尋求理論依據，明確設計原則，分解階段目標，改革作業評價方式等方面進行反思，提出自己的想法．

關鍵詞：作業現狀；作業原則；作業目標；作業評價

高中數學作業的現狀：

1． 形式單一． 我國中小學作業一直采用傳統模式，即教師針對當天的數學知識布置習題或練習冊為學生課后作業，這種作業多而雜，并且教師不能一一評講，使學生把作業當成負擔．這種單一形式的作業使學生厭煩，目的性不明確，最終也沒有效果．

2． 脫離學情． 教師多采用手頭上的練習題作為數學作業，班級里層次不一的學生卻采用的是統一的作業，使得好生“吃不飽”，對作業喪失興趣，應付了事；基礎差的學生“吃不下”，只能抄作業交差．

3． 只重結果． 教師在批改過程中也只重視學生的最后答案，忽略了學生的思考過程和解題過程，書寫方法等，缺乏對學生勞動的尊重．

傳統作業模式不符合有效教學的要求，也逐漸抹殺了高中生的創造性．本文就如何提高作業的有效性談幾點想法．

■理論依據

?搖?搖有效教學理論認為，教學就其本體功能而言，是有目的地挖掘人的潛能、促使人身心發展的一種有效的實踐活動，其理念主要體現在：一是促進學生的學習和發展是有效的根本目的，也是衡量教學有效性的唯一標準；二是激發和調動學生學習的主動性、積極性和自覺性是有效教學的出發點和基礎；三是提供和創設適宜的教學條件，促使學生形成有效的學習是有效教學的實質和核心．

掌握學習理論：美國著名的教育家、心理學家布盧姆提出“掌握學習”理論，強調每個學生都有能力學習和理解任何教學內容，達到掌握水平． 只要提供較好的學習條件，多數學生學習能力、速度和動機方面的個別差異將會消失，大多數學生將獲得較高的學習動機．

■作業原則

1. 系統性原則

教師要全面透徹地理解數學內容，把握知識的連貫性，明確教學內容的重點、難點以及對學生能力培養的要求． 首先要加強“雙基”訓練，特別是對基本概念的理解和掌握是數學學科的基礎，是培養思維提高能力的根本，在作業布置中，要求學生首先完成的就是對課本上基礎知識的理解和掌握以及對基礎知識的基本運用能力的培養． 其次要注重學習內容的重難點的把握，充分利用學生作業的完成促使學生牢固掌握重點知識，同時把學習中的難點分解于作業中，循序漸進地掌握知識． 另外要注意知識的整體性，一方面注意復習鞏固有關的已有知識，與舊知識銜接起來，另一個方面為后續知識做好準備，把后面的內容或方法滲透到前面的知識中形成良好的知識鏈，保持掌握知識與培養能力的系統性．

2. 層次性原則

不同學生之間存在著素質、智力、能力、心理因素等多方面的自然差異． 對他們提出同樣的標準、同樣的要求，顯然有些不合理，需要實行因材施教的教育原則．以學生潛能的發展為標準，最大限度地發揮其自身具有的潛能，創設具有層次性的數學作業，能讓各類學生在數學學習中得到不同的發展．“不同的人在數學上得到不同的發展”． 就是要針對學生的差異，因材施教，設計多梯級、多層次的作業，給學生留有自主選擇的空間，充分發揮他們的學習主動性，讓他們各取所需，自主選擇作業的數量與難度，滿足不同學生的需要．

案例1?搖 證明：對任意a，b，c，d∈R，恒有不等式

（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2） ．?搖（1）

題組訓練一：

1． 求證：（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ad＋bc） 2．■（2）

2． （1）式兩邊開方可否？

求證：■·■≥ac＋bd．

（3）

3． （3）式右邊去掉絕對值可否？

求證：■·■≥ac＋bd．?搖（4）

題組訓練二：

對于（1）式能否有更深刻的變化呢？將不等式（1）字母分別排序，得

（a■＋a■）（b■＋b■）≥（a1b1＋a2b2）2．（5）

4． 設a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，

求證：（a■＋a■＋a■）（b■＋b■＋b■）≥（a1b1＋a2b2＋a3b3）2．（6）

推廣?搖設ai，bi∈R（i＝1，2，…，n），則

（a■＋a■＋…＋a■）■（b■＋b■＋…＋b■）≥（a1b1＋a2b2＋……＋anbn）2（當且僅當ai＝kbi時，取“＝”號）．

這是一個重要的定理，叫柯西不等式．不等式（5）（6）即柯西不等式當n＝2和 n＝3時的特例． 如此層層推進，使結論更加完美，更具有普遍性．讓不同層次的學生都能有所收獲．

3. 興趣性原則

偉大的科學家愛因斯坦曾經說過：“興趣是最好的老師”． 興趣是一種伴隨積極情感的需要形式，是推動學生積極主動學習的直接力量． 數學學習興趣是數學學習的先導，是推動數學學習的一種意識力量． 我們應從學生的年齡特征和生活經驗出發，切入學生已有知識，設計出題型多樣，方式新穎，內容具有創造性、趣味性和親近性的數學作業． 讓學生感受到作業內容和形式的豐富多彩，使之情緒高昂，樂于思考，從而感受到做作業的樂趣．

案例2：人教A版必修5中學習“解一元二次不等式”，課后給學生布置了兩個自編自解作業． 要求是：

①一元二次不等式的解集是空集；

②一元二次不等式的解集為實數集．

批改作業時，我發現，很多學生將他們編寫的題目解答后還改出了變式練習，有些學生為了考查自己的計算能力，設計的數字都比較難計算． 學生通過擔當評價者的角色，參與了對作業設計和完成結果的評價，可以提高他們的自我價值感，從而進一步激發學生的學習興趣．

4. 探索性原則

學生的動手實踐、自主探索與合作交流是有效作業學習活動的主要形式，不單純地依賴模仿與記憶，這樣學生對數學知識、技能和數學思想才能真正理解和掌握，才能獲得廣泛的數學活動的經驗． 波利亞曾說過：一個專心備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生發掘問題的多個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域．

案例3：題目，解方程2sin2x+sinx·cosx+cos2x=2．

（目的是鞏固簡單三角方程的解法，要求學生思考多種解題方法．）

變式1：實數a為何值時，方程2sin2x+sinxcosx+cos2x=a有解？

（目的是滲透函數與方程的思想方法．）

變式2：實數a為何值時，方程2sin2x+sinxcosx+cos2x=a在0，■上有解？

變式3：不等式2sin2x+sinxcosx+cos2x>a，對一切x∈R都成立，求實數a的取值范圍．

變式4：不等式2sin2x－asinx+cos2x>0，對任意x∈■，■都成立，求實數a的取值范圍．

（變式2、3、4的目的是使學生進一步掌握函數與方程的思想方法并靈活運用．）

變式5：討論方程2sin2x+sinxcosx+cos2x=a，a∈R在［0，π］上解的情況．

（目的是結合函數與方程的思想方法，滲透數形結合的思想方法．）

要求學生解完習題后，用簡練的文字表述以上習題考查的基本概念和基本方法，習題之間有何聯系，運用了哪些數學思想方法，從中獲得的注意點和啟示等，并在講解后完善文字材料． 這次作業后，班級類似習題的總體成功率提高了不少，一些學生的數學學習習慣也有了變化，在交流中學生也能說出一些數學思想方法了．

5. 延展性原則

充分發揮數學作業鞏固延伸知識，培養、發展能力，反饋教學信息的功能． 構建一種知識與能力，理論與實踐有機結合的作業模式，設置自主性、實踐性、開放性、人文性的作業，讓學生融入學校、家庭、社會，從封閉的數學學習中解放出來，實現數學學科的課內外聯系，與其他學科間融合，全面提高數學素養和實踐能力． 如設計觀察作業、調查作業、實驗操作、課題探究作業． 讓學生運用所學的知識與生活實踐結合，既鞏固了數學知識又增強了用數學的能力，真正成為學習的主動者． 作業的延展針對學習能力強的學生，還可設計節假日自主作業、自行總結、自找習題、自編試題等．

■作業目標

1. 課前作業——發現問題

讓學生養成自學自練的習慣，每節課課前要求學生在教師學習方法的指導下堅持進行預習，明確重點、難點、疑點，在充分預習的基礎上能獨立完成課本上的小練習或教師編寫的“學案”，看懂課本上的例題，同時把自己自學過程中發現的問題和困難記錄下來，和全班或小組同學交流問題，帶著問題再在課堂進行學習，學習效益會大大提高．

案例4：學完橢圓的簡單幾何性質后，雙曲線一節的教學前，布置預習作業．

作業內容：預習雙曲線的定義、標準方程以及性質

提示：類比橢圓的相關知識并提出問題

時間：一天

要求：1． 提出問題

2． 做相關筆記．

方式：優秀作業展示

學生提出了許多問題，有的從知識層面提問，有的從能力層面提問，有的問題綜合性很強，如：（1）如橢圓與雙曲線的定義有何不同？（2）為什么不同的雙曲線有類似的性質？（3）雙曲線的焦點三角形F1PF2中∠F1PF2的最大值、最小值如何討論，面積如何表示？

?搖隨后的課堂，在梳理雙曲線的定義、標準方程以及性質的同時，適時回答學生提出的問題，課堂的進程自然流暢，極大地調動了學生的學習興趣．預習提問式作業讓學生從被動作業中擺脫出來，培養了學生自主探究能力和良好的學習習慣．

2. 課中作業——解決問題

課中作業內容主要是課本上的例習題，有的由教師引導規范完成；有的由教師點撥解決問題的思路，學生互動交流，循序漸進，逐步提高；有的由學生獨立完成． 同時在課堂新知識學習完成后，學生在作業本中自主進行反思小結，談收獲，談疑惑等，歸納提高． 學生喜歡發揮班集體在學習中的作用，同學們在學習中的不同反應能激發各自的好奇心，極大地調動學習積極性和主動性，教師的作用則在于一個“導”字——引導學生明確問題、提供信息、作出結論、提煉方法技巧．

案例5：如果函數f（x）=lg■，求證：f（a）+f（b）=f■．

此題證法簡單，只需將a，b代入等式進行對數運算即可得證．教師引導學生對此題進行重新編擬，綜合思考，布置如下作業：

1． 從函數的觀點出發：

對函數的定義域、值域、奇偶性、單調性加深和鞏固．

2． 對結論類比推廣：

（1）已知函數f（x），若對任何實數a，b都有f（a）+f（b）=f■成立，

求證：f（x）為奇函數．

（2）如果y=f（x），x∈R，對任何a，b都有f（a）+f（b）=f（a+b）或f（a）－f（b）=f（a－b）成立，則f（x）為奇函數．

（3）若y=f（x），x∈R，對任何a，b都有f（a）±f（b）=■成立，則f（x）是奇函數．

3． 引申，應用：

（1）已知f（x）=lg■，若f■=1，f■=3，其中a＜1，b＜1，求f（a）和f（b）的值．

（2）若f（x）對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）成立，且x＞0時，f（x）＜0，f（1）＝-2，求f（x）在［-2，2］上的值域．

（3）若f（x）對一切a，b∈R都有f（a）－f（b）=f（a－b）成立，且當x＞0時，f（x）＞0，則f（4a－1）+f（1－2a）≤f（a2+1）．

在教學中重視對課本例題、習題的深化和發展，引導學生挖掘其內含及外延，把新舊知識有機地組合起來，能使學生思維得到啟發，知識得到強化，能夠由點帶面，解決一類問題．

3. 課后作業——鞏固拓展

課后的鞏固拓展是非常必要的，要充分發揮教材配置的部分習題的作用，并與部分教輔材料整合． 通過課后作業練習達到鞏固提高、反饋學習情況、檢測學習成績、教師了解學生的目的．

案例6：在拋物線學完后，布置總結性作業．

作業內容：二次函數圖象、冪函數和圖象與拋物線的關系

提示：可查閱資料

時間：兩天

要求：小組合作或個人獨立完成

交流方式：優秀作業展示

?搖作業摘錄：在初中我們就知道，二次函數的圖象是拋物線． 在高中我們知道，平面內與一個定點F和定直線距離相等的點的軌跡是拋物線，這是拋物線的定義．因此，只要能說明二次函數的圖象具有拋物線的幾何特性，就解決了為什么二次函數的圖象是拋物線的問題．可以通過討論與拋物線標準方程之間的關系，得出二次函數的圖象與拋物線圖象之間的關系：二次函數的圖象是一條拋物線．拋物線是曲線（或圖象），我們既可以從函數（或分段函數）的角度研究它，也可以從方程的角度研究它． 事實上兩者之間是有區別的，函數是非空數集之間的一種對應關系，體現的是一種數量關系，圖象是函數的一種表現形式，而方程是從曲線的幾何特征出發，建立的曲線幾何特征的代數關系表達式，用方程研究曲線，是解析幾何的思想．它們雖然都體現了數形結合，但是體現數形結合的不同側面． 這種聯系可以進一步加深對所學二次函數、冪函數圖象的認識．

■作業評價

研究發現，情緒、情感是影響學生學習成績的重要變量，及時的、中肯的評價，鼓勵性的語言能給予學生進一步學習的動力． 作業本上一種無聲的交流有時作用遠遠大于與學生的一次面談． 同時，每次作業的評價，也是對學生作業勞動的一種肯定，學生因此會產生進一步學習數學的意向和內驅力．作業完成的質量情況可以反映課堂教學的質量情況． 通過作業的批改，教師從中可以獲取教學反饋信息，進而為下一步教學設定準確教學目標；通過對作業的評判，學生得到自查自改的指導，從而不斷進步．因此改革傳統的作業評判方法，有利于挖掘學生的智力和非智力因素．作業除了課后由教師全批全改外，采用靈活多樣的形式，可以更好地發揮作業的實效．

1． 當堂批改

對于某些純計算或過程較簡單的習題作業，教師先抽查幾本了解一下作業存在的問題，然后在課堂上公布答案，指出易犯錯的地方，讓同學自查自改；或讓一名優生公布答案，大家自查自改，教師在堂上巡查每個學生的作業情況，及時指正某些學生作業存在的問題． 這一做法能讓學生在較短時間內弄清作業的問題．

2． 當面批改

當面批改是指針對個別學生在作業中反映出的知識失誤或解題過程缺乏優化，面對該生一邊講評一邊批改的方法． 做法是在作業上只批下“面改此題”，要求學生利用課間或課余主動找老師批改．

3． 互相批改

把同桌的兩位學生分別記為A、B，全收作業，但教師只批改A或B，之后讓批改了作業的學生為同桌“面改作業”． 這樣做有利于增強學生之間的數學交流，提高學生的作業參與性，可以使學生對自己和他人的學習有一個再認識過程，以此提高學生的自我評價能力．

隨著新課程改革的深入實施，課堂的教學觀念、課堂的教學形式和教學水平都發生了質的變化，廣大教師越來越重視課堂教學的改革，課堂教學的有效性越來越被廣大教師所追求． 只有加強作業的有效性，才能保證課堂教學有效性的達成！