換元思想的活思巧用

摘 要：換元思想是中學數(shù)學中重要的數(shù)學思想和方法，在數(shù)學教學過程中，師生應明確換元思想的相關概念，理解換元思想的基本法則，熟練掌握換元思想的典型方法，用換元思想實現(xiàn)數(shù)學問題的轉化和化歸，化繁為簡，正確解題．

關鍵詞：換元思想；數(shù)學解題；數(shù)學思想與方法

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中明確提出，中學數(shù)學教學的課程目標是“獲得必要的數(shù)學基礎知識和基本技能，理解基本的數(shù)學概念、數(shù)學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法，以及它們在后續(xù)學習中的作用．通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程．”

當代美國著名數(shù)學家保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos，1916-2006）說過：“問題是數(shù)學的心臟”． 美國著名數(shù)學教育家G·波利亞在《怎樣解題》中說過：“掌握數(shù)學就意味著要善于解題”，“數(shù)學教學的目的在于培養(yǎng)學生的思維能力”． 數(shù)學思維能力的培養(yǎng)與形成無論是對于學生在校的數(shù)學學習，還是對于學生今后的全面發(fā)展，都會產生巨大的影響．

在數(shù)學基礎知識和基本技能（簡稱“雙基”）的教學過程中，數(shù)學思維能力和數(shù)學思想方法的地位同數(shù)學基礎知識相比，處于較高的水平，教學過程中的難度也相對較大． 數(shù)學基礎知識是靜態(tài)的，可以用文字來敘述、符號來表示．而數(shù)學思維能力和數(shù)學思想方法則是動態(tài)的一種意識，一種不能用某種文字表示但是的的確確存在的潛意識． 讓學生掌握一定的數(shù)學思想方法，提高學生的思維能力對于解決數(shù)學問題，特別是難度較大的數(shù)學問題，往往有著事半功倍的效果．

■換元思想的相關概念

換元思想（換元法），別名變量代換法、輔助元素法． 它的特點是通過引進輔助元素，把未知、復雜的題目轉化為已知、簡單的題目． 指的是在解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化的方法．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量（價）代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯(lián)系起來，從而使非標準問題標準化、復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化． 換元思想解題的關鍵是根據原題目的結構形式及相關數(shù)學性質選擇恰當?shù)男伦兞浚瑫r還應該注意替換后變量取值范圍（一般指定義域與值域）的變化．

■換元思想的基本法則

換元思想成功運用的關鍵是把復雜的問題通過某種換元方法轉化到能夠識別、容易解決的形式． 由于數(shù)學問題結構的多樣性和復雜性，所以應用換元方思想解題時，沒有一個固定的模式，這就需要解題者用動態(tài)的數(shù)學思維去試誤，去尋找自己熟悉的題型結構和解題思路，在這個過程中，應該遵循下面幾個原則．

1. 熟悉化原則． 所謂熟悉化原則，就是指面對一個從來沒有見過、不熟悉的數(shù)學問題，通過換元思想的指引，把這個復雜問題變成我們熟悉的、已經掌握的類型，并使這個復雜問題得以解決的原則． 一個熟悉的問題呈現(xiàn)在我們眼前，我們就能夠調動我們頭腦中已經存在的解題知識與經驗，利用已經存在的知識和經驗解決目前碰到的復雜問題．

2. 簡單化原則． 面對一個結構復雜的數(shù)學問題，一般可以通過適當?shù)臄?shù)學運算（可以使非等價的）變換問題結構，使問題的表現(xiàn)形式和處理方式都變得簡單，通過對這個簡單問題的求解，使得原復雜問題得以解決．

3. 具體化原則． 在解決數(shù)學問題時，應盡力把抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化，盡量用具體的語言和式子來描述抽象的問題，使這個問題的結構和各個變量之間的關系更加明確具體，更加容易理解．

4. 標準化原則． 數(shù)學從某種意義上說是關于模式的科學，模式具有相似性，我們最需要掌握的就是這個模式的一個“模型”． “模型”研究起來比較方便，容易通過這個熟悉的模型獲得解題思路，“模型”比較具有代表性，很多對象都可以轉化為這個模型，另外“模型”的表達方式也應該比較簡單，容易理解記憶．

■換元思想的典型方法

1. 整體換元． 又稱局部換元．是指通過觀察和分析題目，如果某個代數(shù)式多次出現(xiàn)，用一個字母或者一個簡單代數(shù)式來代替它，從而在不影響問題的結構特征和整體形式的基礎上，化繁為簡，從而達到解決問題的目的．

2. 均值換元． 當遇到x+y=s的形式時，設x=■+t，y=■－t，使用均值換元法能夠達到減元的目的，從而能夠更簡單地解題．

3. 三角換元． 對于一些代數(shù)問題，尤其是對定義域和值域特殊規(guī)定的函數(shù)，我們可以將代數(shù)問題轉化為三角形式，再利用三角函數(shù)的性質，往往能夠使問題變換到熟悉的二次函數(shù)定義域與值域問題上來．

■換元思想的巧用

例1 化簡■．

解：令■=x，■=y，■=z， 則x2+y2－z2=0．

故 ■=■=■=■=x+y－z=■+■－■.

巧處：①觀察出原式中各個數(shù)之間的關系．

?搖②大膽地將確定的數(shù)用未知量表示，看似復雜，實則簡化．

例2 已知■+■+■+■=1，

■+■+■+■=1，

■+■+■+■=1，

■+■+■+■=1，

求x2+y2+z2+w2的值．

解：分別將4，16，36，64用t代換，則x，y，z，w能滿足給定方程組等價于t=4，16，36，64． 滿足方程

■+■+■+■=1?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖①

用（t-1）（t-9）（t-25）（t-49）乘以①的兩端，對有意義的t（即t≠1，9，25，49）來說，①等價于方程

（t-1）（t-9）（t-25）（t-49）－（t-9）（t-25）（t-49）x2－（t-1）（t-25）（t-49）y2－（t-1）（t-9）（t-49）z2－（t-1）（t-9）（t-25）w2=0?搖?搖②

方程②是關于t的一元四次方程，t=4，16，36，64是這個方程的四個根，而四次多項式至多有四個根，所以這四個根就是方程②的全部根． 于是方程②等價于方程

（t-4）（t-16）（t-36）（t-64）=0?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖③

由于②③兩個方程中t4的系數(shù)都是1，所以t的其他各次冪的系數(shù)也應該對應相等． 特別地，t3的系數(shù)相等． 比較②③方程中t3的系數(shù)得

1+9+25+49+x2+y2+z2+w2=4+16+36+64

由此求得x2+y2+z2+w2=36.

巧處：①由觀察用一個方程代替已知條件中的四個方程．

②為達到求解目的，由觀察選擇比較t3的系數(shù)．

由上述兩個例題看出換元思想在其中的巧思妙用．例1中由觀察可知■·■=■，（■）2+（■）2=（■）2，然后將■，■，■分別用x，y，z替換，看似增加了未知量，而實際上是將問題置于更高的角度，使問題得到了解決，有一種“會當凌覺頂，一覽眾山小”之感． 例2中由觀察可知已知條件中的四個方程可由一個方程來替換，化多為少，抓住問題的本質，繼而根據要求解的量比較t3的系數(shù)．

這兩道題可謂將換元思想用到了極致． 值得一提的是，運用換元思想，首先要有一雙“慧眼”，善于觀察，善于抓住契機，從而打開通向光明的捷徑之門．