2011年江蘇卷壓軸題探究教學及其反思

摘 要：2011年江蘇卷壓軸題，師生通過探究式教學，順利地攻克此題，體現了新課程標準下的課堂教學模式的改變，以學生個性發展為前提，立足于學生的長遠發展，著眼于學生的創造能力和教師的主動學習能力的提升． 通過引導，培養學生研究問題的興趣，同時教者應加大教學反思力度，從而做到精益求精，不斷提高教學探究的能力和品位．

關鍵詞：探究式教學；教學反思

■問題

（江蘇2011，20）設M為部分正整數組成的集合，數列｛ａn｝的首項a1=1，前n項和為Sn，已知對任意的整數k∈M，當整數n>k時，Sn+k＋Sn-k=2（Sn+Sk）都成立．

（1）設M=｛1｝，a2=2，求a5的值．

（2）設M=｛3，4｝，求數列｛ａn｝的通項公式．

作為壓軸題，著重考查數列的通項與前n項和的關系、等差數列的基本性質等基礎知識，考查學生分析探究及邏輯思維能力，但標準答案解法較抽象，學生表述困難．解題思路教師都難想到，更何況是學生．

由于第1問較簡單，從略，本人選取了符合學生認知規律的解法對第2問進行了探究式教學，過程如下，與同仁交流．

■探究

教師：第2問，M=｛3，4｝，k值可能為多少？又能得到怎樣的關系式？

學生1：k=3或k=4，能得到Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-4=2（Sn+S4）（n≥5）②

教師：①中，怎樣做才能得到各項之間的關系？

（學生沉默一會）

學生2：根據①再寫一個等量關系，將它們作差，但不知行不行．

該生接著說，

Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-2=2（Sn+1+S3）（n≥3）①′

①′－①得，Sn+4－Sn+3+Sn-2－Sn-3=2Sn+1－2Sn，即2an+1=an-2+an+4（n≥4）（*）．

②中，類似可得到2an+1=an-3+an+5（n≥5）（**）．

（**）－（*）得，an+5－an+4=an-2－an-3=…=a3－a2=d（n≥5），故｛ａn｝成等差數列．

學生3：｛ａn｝不成等差數列，因為它們不是相鄰三項之間的關系．

教師：對，怎樣才能找到相鄰三項之間的關系？（提示一下）

由（*）知｛ａn｝每隔兩項成等差數列，即an-6，an-3，an，an+3，an+6（n≥8）成等差數列；

由（**）知｛ａn｝每隔三項成等差數列，即an-6，an-2，an+2，an+6（n≥8）成等差數列．

學生4：由（*）（**）得2an=an+3+an-3=an-6＋an+6=an-2+an+2．

學生5：｛ａn｝每隔一項成等差數列，即an-3，an-1，an+1，an+3，成等差數列，則an-1+an+1=an-3+an+3=2an（n≥8）．

故｛ａn｝成等差數列．

學生6：｛ａn｝不一定成等差數列，因為n≥8，所以從第9項起成等差數列．

教師：設從第9項起公差為d，再探究前8項是否成等差數列，公差是否相同．

（沉默一段時間）

學生7：（急切地站起來），我將（*）（**）兩式分別用幾個值代入，

得到2a5=a2+a8，2a6=a3+a9，2a7=a4+a10，2a8=a5+a11， 2a6=a2+a10，2a7=a3+a11，2a8=a4+a12，2a9=a5+a13. 最下面一行兩個等式作差得a9－a8=d，同理得a8－a7=a7－a6=a6－a5=d，再將第二組相鄰兩行兩個等式作差，得a5－a4=a4－a3=a3－a2=d，即an+1－an=d（n≥2）．

（全班學生鼓掌）

教師：如何確定第一、二項之間的關系？

學生8：由起始關系式①得a5+a6+a7=a2+a3+a4+2S3，所以2S3=9d，即4a2－7d+2=0③．

由②得a6+a7+a8+a9=a2+a3+a4+a5+2S4，所以2S4=16d，即3a2－5d+1=0④．

由③④解得a2=3，d=2，

所以an=2n－1．

教師：解題的關鍵在何處？是如何處理的？

學生9：在等量關系式①②中消去常數S3，S4，從一個等量關系式中構造出一個等式（用n+1代n），再將它們作差．

■拓展

教師：M=｛3，4｝，換成M=｛2，3｝，｛4，5｝，｛4，6｝，通項公式an仍可以求出嗎？

（學生沉默一會）

學生10：M=｛2，3｝，方法和剛才一樣，得an+1－an=d（n≥2）且2S3=9d，2S2=4d，

則a2=3，d=2，an=2n－1仍成立．

學生11：M=｛4，5｝，an+1－an=d（n≥2）且2S4=16d，2S5=25d，則a2=3，d=2，an=2n－1仍成立． M=｛4，6｝，不能得出an+1－an=d，故不成等差數列．

學生12：一般地，M=｛m，m+1｝（m∈N*），得an+1－an=d且2Sm=m2d，2Sm+1=（m+1）2d，

從而an=2n－1，其余形式不行．

本探究過程自然、合理，合乎學生的思考習慣，對培養學生邏輯思維能力、推理能力大有裨益．

■溯源

本高考題是在《教學大綱》《考試說明》的要求下，重點考查了等差數列這一C級知識點，假設｛ａn｝成等差數列，則Sn=An2+Bn，然后構造了Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）這個條件，即A（n+k）2+B（n+k）+A（n－k）2+B（n－k）=2（An2+Bn+Ak2+Bk）

對n∈N*恒成立，則2Ak2=2k2，2Bk=0 （k≠0），所以A=1，B=0. 從而Sn=n2，an=2n－1.

最后用k=3，k=4兩個條件確定這個數列，該數列就成了等差數列． 由于函數的表達式與數列通項既有聯系又有區別，故反過來推導出等差數列就困難得多．

■反思

1. 注重教師素養提升

隨著課改的深入，教師不僅要重視教學結果，而且越來越要關注教學過程，教師除了將主要精力放在學生身上，也越來越注重自身發展，努力提升自己的教育教學素養． 對于習題講解，首先教者要“沉”下去，親自做一做，想一想，找到符合學生認知規律的最優解法，不能“人云亦云”，決不能“拿來主義”，課堂上生搬硬抄標準答案．

2. 鼓勵學生自主探究

建構式理論告訴我們，只有把知識的“根”扎在學生自己的經驗里，才能實現真正意義上的建構． 學生利用自己的經驗去感受、理解知識的產生與發展過程，通過課堂教學活動養成自主探究的習慣，學生能講的讓學生講，學生能做的讓學生做，學生的解題方略與“標準答案”有差距，加以肯定，盡可能激發學生的靈感火花，對一些獨到的解法應及時鼓勵和表揚．

3. 培養良好心理素質

對于這道高考題，考后很多學生非常懊惱，無論如何也不至于只得了這么一點分（省平均分為2.8分）． 這與時間緊，此題難有關系，但主要的還是應試的心理素質不高，瞬時亂了方寸，針對這種情況，平時做作業、測試中，要求學生做到審題細，演算準，表達清，向他們灌輸這樣的理念：未弄清題意切勿下筆，要審清問題涉及哪些知識，用什么方法去突破，表達要完整清晰，過程要簡潔明了． 教師要培養學生的良好心理素質，解決學生題目怕新、運算怕繁的心理問題，使學生的認知水平和思維能力呈螺旋式上升．