教材定理公式成為兩道“典型”高考題的啟示

摘 要：高考是課改的指揮棒和方向標，高考試題引領著教學改革． 高三教學復習不應只是整個高中數學知識點的羅列和簡單的強化訓練，更應是對學生已有的知識結構做系統整理和升華；不是公式的簡單模仿強化應用而是對知識的內涵和本質再認識，構建新的數學知識體系．

關鍵詞：教材定理公式；高考試題；存在問題；建議

近年來各地高考新題不斷出現，讓人為之興奮，為新課改而叫好． 讀完《為“敘述并證明余弦定理”成為高考試題叫好》一文，我們應該反思高三的教學復習．無獨有偶，2010年四川高考題也是一道關于教材中公式的證明：①證明兩角和的余弦公式C（α+β）:cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ，②由C（α+β）推導出兩角和的正弦公式：S（α+β）:sin（α+β）=sinα·cosβ+cosαsinβ． 這兩道試題的出現，不僅給當前的一些高考復習方式和方法當頭一棒的感覺，更是讓人值得反思高三的教學復習應該如何進行？怎么做才能更好地對學生已有知識體系進行再構建和升華． 簡單的模仿應用公式、反復訓練培養不出優秀的學生，優秀的學生對知識內涵和結構有系統、深刻的認識，能做出自我判斷，掌握一門學科的學習方法，能夠較深刻地領會其思想方法．

這兩道高考題直接來源于教材中的定理和公式證明，在日常教學中，教師和學生都能熟練運用，但在高三復習教學中恐怕很少有教師要求學生回顧其證明過程，再次闡述證明過程所采用的數學思想方法． 就兩角和的余弦公式來說，人教版兩個不同的版本采用的證明方法不同． 老人教版中使用兩點間的距離公式來證明，計算量大，思維空間小；新人教版中，該公式的證明安排在學習了平面向量之后，利用向量的數量積來證明，公式的證明過程簡潔明了，呈現出數學簡潔美，同時體現了平面向量的應用價值，拓展了學生的思維空間． 這兩道試題的出現再一次向高三的教師提醒：要認真研究每年的考試說明，領會課標精神：回歸教材，重視基礎，注重通性通法，幫助學生構建宏觀知識體系，突出思想方法，注意能力．

■新課標對數學課程的幾點要求

（1）注重提高學生的思維能力． 提高學生的思維能力是數學教學的基本目標之一，在數學學習和運用數學解決問題過程中，經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與構建等思維過程． 在這一系列的過程中，學生思維能力得到形成和提高．

（2）強調數學的本質和思想方法． 在數學教學中，要強調對數學本質的理解，不能只限于形式化的表達． 高中數學應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質． 數學要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，讓學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史軌跡．

（3）更加關注數學知識形成的過程． 數學知識的生成過程即是數學發展的歷程，其中蘊涵著大量的數學思想方法，對數學學習者來說：思想方法才是數學美的所在，體會了其中的美，才能深刻理解數學的本質． 由此，自然能達到新課標的基本目標之一：學習有動力，探究有活力． 數學的教學也就不再是枯燥的反復演練而是具有創造性的探究活動．

新課標指出應該關注學生理解數學概念、數學思想過程的形成，關注學生數學式地提出、分析、解決問題等的過程．

總之，新課標要求數學教學更加強調概念的生成與發展，注重學生獲得知識的過程和思維能力的提高過程，不再是公式化、形式化的數學教學，要求教師在教學中要盡可能地揭示數學的本質，呈現數學知識的生成、發展過程，關注學生思維能力的發展過程．

■當前高三復習中普遍存在的問題

（1）結論式復習，不注重分析使用條件

高三復習中，不少教師采用對知識點強化記憶和反復訓練的模式． 復習過程側重公式的基本結論，喜歡總結“秒殺”技術，不細致分析公式的應用條件和說明為什么不可以這樣做，盲目地組合試題給學生訓練，結果事與愿違，大多學生記住了公式、結論卻不知道如何使用、在什么時候使用，在考試中遇到新題型束手無策． 高考中的一些陷阱題正是針對機械訓練而設計的，體現了課標的引領精神． 例如，在導數的應用中將導數的必要條件f ′（x0）=0當做充要條件使用導致錯誤等．

（2）重結論，輕視知識間的內在聯系

在復習中，一些教師為了節約復習時間，更多地講題，對教材中的結論直接給出，不重視結論在推導過程中的蘊涵的思想方法和對學生思維的啟發作用，這樣做不但沒有節約時間反而是增加了學生的學習負擔． 每年的考試說明中都明確要求：考查通性通法、注重數學思想方法和創新意識． 高考試題中的難題其實不難，其中蘊涵的數學思想方法在日常教學中都零散的講授過或應用過，認真研究其知識間的關聯性，能較好地做到觸類旁通，發現學生在復習中真正存在的盲區，復習教學變得更有知道性． 復習三角函數這一章時可如下安排：單位圓內定義任意角?圯任意角的三角函數?圯y=sinx的圖象性質?圯y=Asin（ωx+φ）的圖象性質及y=Acos（ωx+φ）的圖象性質． 這樣一來，三角函數的基本問題歸結為：單位圓內三角函數的定義，誘導公式和終邊相同建立起內在關系，在公式變化中符號出錯問題得以澄清，研究透徹正弦函數y=sinx的圖象性質后，利用整體與部分的思想在研究正弦型函數y=Asin（ωx+φ）（A>0）的圖象和性質時，學生容易接受和理解，這樣做不但突出了這一章節的主干知識網絡結構，還優化了知識間的內在聯系，學生的思維能力得到提高．

（3）不重視教材的基礎作用，盲目做題訓練

教材是試題的載體，是高考命題的依據，也是學生智能的生長點，是最有參考價值的資料． 教材中選取的例題和習題都具有其目的和意義，比較典型，能系統概括、反映出本章節內容中運用的重要思想和方法，同時一些基本定理和公式的證明過程蘊藏著重要的數學思想方法，能有效地指導學生解數學題． 用好這些典型能引導學生再現知識點的形成和生長過程，重新梳理知識體系，進一步優化知識結構． 做題不在于多而在于有效．

■高三復習中的教學反思和建議

（1）認真研究課標和考試說明，領會考試精神

課標對本學科的地位作用做了綱領性的規定和要求，而考試說明更是具體地指出在數學教學中應該達到的基本要求和層次． 例如，近年的高考中沒有在出現復雜的數列通項求解問題，試題比較常規． 課標對數列的教學要求為：理解數列的概念和幾種簡單的表示方法，理解數列是一類特殊的函數；探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和的公式，能在具體情節中發現數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應問題，體會等差數列、等比數列與一次函數、指數函數的關系． 在2010年的高考中海南卷第17題（Ⅱ）考查點是：數列是一類特殊的函數，利用一元二次函數的思想獲解，此類問題在高考試卷中俯首皆是．

（2）重視教材的基礎作用和示范作用，注重通性通法

教材是高考考試內容的具體化，教材是高考命題的基本依據，教材是中低檔題的直接來源，教材是解題能力的基本生長點． 每年的考試結束后，認真研究試題都能得到一個共同的信息：試卷立足于教材而出，但不拘泥于教材，25%左右的題目源于教材． 2011年陜西高考數學理科17題解析幾何第一問“求軌跡方程”來源于選修2-1第三章圓錐曲線與方程閱讀材料2中 “圓與橢圓”，第二問求弦長與選修2-1習題3-4A組第7題相同；第18題敘述并證明余弦定理為必修五第二章解三角形第1節內容；第20題概率題的背景與選修2-3復習題二第2題一致等．

（3）重視數學知識間的內在聯系，滲透數學思想方法

教材作為構建知識體系的一個藍本，勾勒出了應有的知識體系結構和知識間的關系． 細致分析高考試卷中的難題，容易發現試題涉及的知識點緊密聯系，相互交匯，解答方法具有一定的深度和廣度． 2011年全國課標卷中理科21題考查導數的應用，第一問切入點低，解法常規，學生只要掌握基本的處理方法即可得分；在第二問的解答中就要用到五大數學思想方法，逐步深入考查，凸顯能力立意的考試目的． 教師在復習中可以引導學生用圖表的方法列出知識清單，比較發現知識間的關聯所在，構建知識網，這樣有助于學生更好地形成知識網絡結構，理解數學知識間的內在聯系從而提升分析、解決問題的能力．

總之，高三的教學復習中，教師要用好教材和構建好知識體系，依據課標要求和考試說明而進行． 不能只是簡單復習知識點，要深入研究，分析知識間的內在關系，對一些蘊涵重要數學方法和思想的知識點，做好二次講解和闡述，構建好知識網絡結構． 站得高才能看得遠，抓住了知識的核心，以不變應萬變才能在高三復習中出彩！