新課程理念下對高三數學糾錯教學的思考與實踐

摘 要：“新課程改革”的理念重在培養學生的創新精神和駕馭知識的能力，重在塑造一種“溝通、理解、探索、創新”的教學過程． 傳統的“糾錯教學”是用正確答案替換學生頭腦中的錯誤觀念，這樣的教學方式越來越受到廣大師生的質疑，而以學生自我體驗錯誤，經過自查自糾、反思交流、自我評價等多種形式的糾錯教學已呼之欲出． 筆者以自己的親身經歷，結合學生在解題過程中出現的錯誤，嘗試一種新的課堂糾錯的方法，為實現高三教學的有效性和全面發展的教育目標而努力．

關鍵詞：新課程；糾錯；數學

我們在高三數學復習中，往往會遇到學生解題時出現的形形色色的錯誤，面對這些錯誤，傳統的做法是直接把正確的答案教給學生，因為這樣可以節省教學時間，增加課堂的密度和強度． 但不久便發現，學生的錯誤又死灰復燃，有時甚至屢次犯下同樣的錯誤，使不少高三教師感到十分頭痛． 怎樣才能使學生的錯誤越變越少呢？作為高三的一線教師，筆者在教學實踐中深切感受到只有在新課程理念的指導下，突破課堂的傳統模式，塑造一種“溝通、理解、探索、創新”的教學過程，從學生的角度去模擬錯誤的情境，體驗錯誤的原因，探索改錯的方法，提出防范的措施，師生之間才能產生思維的共振和情感的共鳴，糾錯教學才會做到有的放矢，深入人心． 下面筆者結合自己的教學經驗，談一些感悟和體會，以供參考．

■正確認識學生的錯誤

學生在數學學習活動中產生的錯誤是有價值的，數學教師要允許學生犯錯誤，但也要幫助學生改正錯誤，更要以一種開放、寬容的態度看待犯錯誤的學生．

1． 錯誤的價值．

在數學探究活動中，錯誤可能接連發生，也許正是這些錯誤在引領學生進行思想的漂泊和探險，獲得了在平坦的大路上難以見到的景致；也許正是學生經歷了一次次錯誤的探險，感受到心理的挫折、驚喜與頓悟，才從中獲得了質疑、反思與多向思維的創新品質．

2. 錯誤的合理性．

高三學生產生錯誤，并不完全是粗心或是沒有好好學所造成的． 很多錯誤的產生是有理由、有規律的，具有一定的合理性． ?搖

3. 產生錯誤的原因分析

（1）知識“斷鏈”，我們通常稱之為“忘記”． （2）曲解意義，即錯誤地或片面地理解某些概念或結論，并做出不恰當的類比和遷移，從而導致錯誤． （3）認知障礙，指學習者已有一些知識，這些知識一方面是進一步學習、理解的基礎，但因包括有錯誤的或不夠全面的成分，從而就有可能妨礙新知識的建立和運用． （4）學生解題過程中思考不到位，對題目的“無思、偏思、淺思”造成了解題的不完善．

■糾錯教學的流程

課堂糾錯教學的流程是“出錯——發現——探究——進步”． 高三數學課堂是個隨時會出現錯誤而且允許學生犯錯的地方，真實的數學課堂正是因“出錯——發現——探究——進步”的良性循環而充滿活力．

■糾錯教學的實踐與思考

1． 感悟方法讓“錯”出彩

由于高三學生的知識背景、思維方式、情感體驗等方面的不同，學習中難免會出現各種各樣的錯誤． 教師若能慧眼識真金，讓學生充分展示思維過程，顯露錯誤中的“閃光點”，給予肯定和欣賞，并順著學生的思路將“合理成分”激活，讓智慧光芒噴薄而出，讓錯出彩．

案例1：已知函數f（x）=x2+2x+alnx，（1）若函數f（x）在區間（0，1］上恒為單調函數，求實數a的取值范圍；（2）當t≥1時，不等式f（2t－1）≥2f（t）－3恒成立，求實數a的取值范圍．

此題是高三復習卷上的一題，主要考查利用導數知識，研究函數的單調性，處理不等式恒成立問題，綜合性強，思想方法深刻，能力要求較高．

學生的歪打正著：構造函數g（t）=f（2t－1）－［2f（t）－3］（t≥1），注意到g（1）=0，所求問題轉化為g（t）≥g（1）對任意的t∈［1，+∞）恒成立． 即g（t）在［1，+∞）上為增函數，從而g′（t）≥0在t∈［1，+∞）上恒成立，而g′（t）=2［f′（2t－1）－f′（t）］，故f′（2t－1）>f′（t）在t∈［1，+∞）恒成立，由于（2t－1）－t=t－1≥0，即2t－1≥t，故f′（t）在［1，+∞）上為增函數．令h（t）=f′（t），則h′（t）=2－■≥0當t∈［1，+∞）時恒成立，即a≤2t2，從而a≤（2t2）min=2，故實數a的取值范圍為a≤2．

解答的結果與正確答案完全一致，乍一看似乎簡潔明了，無懈可擊，但仔細分析，不難發現其中的破綻：“由g（t）≥g（1）對任意的t∈［1，+∞）恒成立． 直接推出g（t）在［1，+∞）上為增函數”此推理不一定成立． 如圖1所示：

雖然此解法歪打正著，但它為正確求解提供了有意的啟示．

師生合作共探的解法：構造函數g（t）=f（2t－1）－［2f（t）－3］（t≥1），注意到g（1）=0，所求問題轉化為g（t）≥g（1）對任意的t∈［1，+∞）恒成立．因為g′（t）=2［f′（2t－1）－f′（t）］=2（t－1）2－■（t≥1）． 當a≤2時，由于t（2t－1）≥1，故g′（t）≥0，從而g（t）在［1，+∞）上為增函數． g（t）≥g（1）對任意的t∈［1，+∞）恒成立． 當a>2，g′（t）=■=■．

因為■<1<■，當t∈1，■時，g′（t）<0，當t∈1，■時，g（t）是減函數，于是g（t）

?搖?搖此解法思路自然，過程清晰，這樣在學生錯誤的思路上做適當修正，既保護了學生學習的積極性，又能激活其合理的成分，以促進學生的思維朝著正確、完美的方向發展，從而對數學的推理的嚴密性以及等價轉化思想有了更深刻的領悟．

2. 將錯就錯，開拓思維空間．

學生在真正學習新知識之前，需要對根深蒂固的錯誤觀念進行重組，因為這些錯誤觀念會干擾新的學習． 克服錯誤觀念對新知識學習的排斥的唯一可能解決方法是迫使學生去正確面對他們的錯誤與所學知識之間的矛盾． 學生每遭遇并克服一次錯誤，學生的已有智慧結構就會呈現一種螺旋遞升的狀態，有了一次重組的可能，從而實現創新思維．

案例2：已知無窮數列｛ａn｝的前n項和Sn=■（an+2）2，滿足題設的數列｛ａn｝有多少個？證明你的結論．

這是一道數列復習課上的例題，經過一番探索和思考，大多數學生得到了以下解法：由Sn=■（an+2）2，得Sn+1=■（an+1+2）2，故Sn+1－Sn=■（an+1+2）2－■（an+2）2，即8an+1=a■+4an+1－a■－4an，整理得（an+1+an）（an+1－an－4）=0，故an+1+an=0或an+1－an=4． 在題設中，令n=1，即a1=■（a1+2）2，得a1=2，于是數列｛ａn｝是以2為首項，公比為-1的等比數列或公差為4的等差數列． 所以an=2（－1）n-1或an=4n－2．

至此，大家似乎都覺得可以完美收場了，但筆者詭異的微笑卻誘發了一些敏感學生的質疑． 不久，果真有學生另辟蹊徑：令n=1，得a1=2；令n=2，得a2= －2，6；令n=3，得a3=2，－6，10． 這樣已得出至少3個數列，按照這種方法可以大膽預測：滿足題設的數列｛ａn｝有無數個．

此時此刻，平靜的課堂一下子沸騰了，大家覺得前面的解法似乎有問題，但一下子又很難發現其中的破綻． 此時可以引導學生發現在從特殊到一般的探究過程中，“an+1+an=0或a■－a■=4”不一定對任意n都成立，即數列｛ａn｝不一定是等比數列，也不一定是等差數列． 如舉例前4項有（1）2，－2，2，－2，…；（2） 2，6，10，14，…；（3） 2，－2，2，6，…；（4）2，6，－6，－2，…；（5）2，6，10，－10，…．可見，滿足題設的數列｛ａn｝有無數個．

怎樣防止類似的錯誤？通過討論大家共同認為：對數學問題中的“關鍵詞”，如“或、且、非、至多、至少”等，首先一定要通過分類列舉、數形結合思想以及從特殊到一般的策略，對隱含的數學含義進行深入的分析和鑒定，弄清其真正的內涵和實質再實施解題研究，其次應注意變形、代換的等價性． 可見，讓 學生充分暴露錯誤的過程，“將錯就錯”，是探索糾錯方法的前提，在此基礎上，總結得出解題的一般規律，學生才會構建起屬于自己的正確認識．

3. 合理設錯，多向交流，發展思維

（1）“設錯”的原則． 教學過程中“設錯”應講究自然、講究方法、講究場合，歸根結底要講究教學實效，絕不能為了刻求某種教學模式而故弄玄虛． 一般來說，“設錯”應遵循以下三個原則． ①時機性原則．“設錯”的時機性原則，就是在教學活動過程中，不能不分場合、隨心所欲地來設置所謂的錯誤讓學生討論、辨別，而是要在適當時機，根據學生的學習態度、知識水平、思維習慣等具體情況，有目的、有針對性地“設錯”． ②迷惑性原則． “設錯”的迷惑性原則，就是教學活動過程中，所設置的錯誤既是學生容易出現的，也是學生難以辨別的問題，它看似正確，實則錯誤，正負模棱兩可，具有一定的迷惑性． ③多樣性原則． “設錯”的多樣性原則，就是在教學過程中，既要包括“設錯”內容的多樣性，又要包括“設錯”形式的多樣性．

（2）“設錯”的技巧．無論是新課起始的“設錯”，新課進行中的“設錯”，還是新課結束后的“設錯”，都要面向全體學生提出，要盡可能給不同層次的學生創設分層次的最佳“糾錯”機會． 問題提出后，要給全體學生留有思維的機會和時間，使每個學生有一個“思考——糾錯”的過程，同時對每一位學生的“糾錯”都要給予適度的評價． “設錯”難度要講究藝術．“設錯”難度的掌握要講究分寸，既要符合課程對知識的要求，又要不脫離學生的實際認知水平；既要高于學生原有的知識水平，又要使他們經過努力后力所能及，同時，“糾錯”方式要靈活多樣．

案例3：設z=2x+y，式中變量x，y滿足下列條件4≤x+y≤6…（1）2≤x－y≤4…（2）求z的最大值和最小值．

這是線性規劃復習課的引入，學生經過探討和辨析，形成了兩個方案：

學生解法1：由（1）+（2）得6≤2x≤10…（3），由（2）得－4≤y－x≤－2（4）.

由（1）+（4）得0≤y≤2，因而得到6≤2x+y≤12，所以zmin=6，zmax=12．

學生解法2：由（1）得到6≤■（x+y）≤9，由（2）得到1≤■（x－y）≤2，從而7≤2x+y≤11，所以zmin=7，zmax=11．

兩種解法都是將不等式變形，之所以結論不一致估計是沒有等價變形，但又說不清楚問題到底出在哪里？這時候，教師就可以不失時機提問：既然從不等式變形的角度不能十分合理地解釋，能不能另辟蹊徑？接下來就是請學生嘗試利用數形結合的思想解決問題，從而引入正題．

此例以問題為驅動，首先通過巧布“陷阱”，即采用學生在不等式學習中的典型“病案”，啟發學生探討、辨析． 該問題的引入雖然會預知學生的錯誤，但主要目的在于創設一個導情引思的情境，讓學生主動地參與探索學習．

4． 利用糾錯題組，整合課程資源

課堂中的“錯誤”其價值并不在于“錯誤”本身，而在于“錯誤”背后的創新過程．實現了“錯誤”背后的創新價值，才真正使課堂中的“錯誤”變成了重要的課程資源，這原本就是新課程中的教育理念，也是教師高超的教學藝術所在．

學生在復習三角函數的過程中，經常因為不注意一些隱含條件，在解題時頻頻出錯． 如同角三角函數之間的關系、正余弦函數的有界性、角度取值范圍的壓縮等，為此筆者利用以下題組，讓學生獨立練習：

案例4：糾錯題組（1）若θ在第二象限，sinθ=■，cosθ=■，求tanθ；

（2）已知3sin2α+2sin2β=2sinα，求sin2α+sin2β的最大值；

（3）已知tanA，tanB是方程x2+3■x+4=0的兩根，且A，B∈－■，■，求A+B的值．

學生的錯誤果真出現：（1）由于忽視同角三角函數之間的關系，學生僅得到tanθ=■，而事實上，利用sin2θ+cos2θ=1，得a=0（舍去）或a=8，故tanθ=－■；

（2）學生由sin2β=■，代入得y=－■sin2α+sinα，配方得y=－■（sinα－1）2+■，得出y的最大值為■，而事實上sinα=1時，代入條件得到sin2β=－■，顯然矛盾． 引導學生挖掘隱含條件sin2β≥0，從而得出0≤sinα≤■，故只有當sinα=■時，y的最大值為■．

（3）利用韋達定理可求得tan（A+B）=■，由A+B∈（－π，π），故學生得出A+B=■或－■，而事實上，原方程的兩根均為負數，于是A，B∈－■，0，A+B∈（－π，0），故A+B=－■．

通過這些糾錯題組，不僅找到了問題癥結的所在，而且通過類比和總結，還發現了一些尋找隱含條件的常用方法，從而使學生能夠用更高的觀點去審視數學解題，這正是整合課程資源的價值所在．

5． 反思錯誤原因，提高數學思維能力

解題反思是對解題活動的反思，它是對解題活動的深層次的再思考，不僅僅是對數學解題學習的一般性回顧或重復，而是深究數學解題活動中涉及的知識、方法、思路、策略等，具有較強的科學研究的性質． 所以不能認為糾正了該題的錯誤就達到了教學的目的，還應進一步引導學生反思錯誤的原因，提高自我診斷的能力，拓展學生思維的領域，提高數學思維能力．

案例5：求函數y=■sin2α+■+1（α∈0，■）的最小值．

學生解答1：y≥2■+1=2；學生解答2：y=■sin2α+■+■+1≥■·2■+■+1≥■+■+1=■+■，這兩種解法顯然有學生提出了質疑：等號取不到，最后經過思考，學生發現了下面的解法： y=■sin2α+■+■+1≥■·2■+■+1≥■+■+1=■．

這樣解題過程到這里就戛然而止，突然急剎住學生的思維，學生除了對本題的錯誤了解以外，收獲并不大，而且學生感到本題就像玩魔術一樣，深不可測． 或許還會存在疑問，這樣的分拆是唯一的嗎？下次碰到類似的問題，是否還能分拆出來？面對這樣的疑惑，教師應引導學生進行反思．

反思1：除了上述分拆，還有別的合理分拆嗎?

y=sin2α+■－■+1≥2·■－■+1≥■．

反思2：上述兩種合理分拆有什么共同的特征？

兩種合理分拆都滿足“當sin2α=1時，y取最小值”，所以肯定會分拆出sin2α+■模塊，這也說明兩種分拆的本質是一樣的．

反思3：為什么是“當sin2α=1時，y取最小值”？構造函數y=■+■+1在（0，2］上遞減，在［2，+∞）上遞增，而x=sin2α∈（0，1］，故當sin2α=1時，y取最小值． 所以分拆y=■sin2α+■+■+1，當■sin2α=■?圯t=■sin22α=■；或y=tsin2α+■+■－tsin2α+1，當tsin2α=■ ?圯t=■=1．

通過這樣不斷引導學生反思，學生真正明白了怎樣去分拆變形，同時也引入了解決最值問題的另一種有效的解法——利用函數的單調性，比利用基本不等式更具一般性． 再進一步探究形如：y=ax+■（a>0，b>0）函數的最值或值域，會收到更好的效果． 在這一過程中，學生的數學知識與技能得以鞏固，數學思想方法得以有效滲透，數學思維能力得以優化和發展．

■收獲與反思

建構主義認為：學習并非學生對于教師所授予知識的被動接受，而是依據其已有的知識和經驗所作的主動建構． 而這種主動建構必須對問題有深入認識，在課堂教學中能反映學生認知水平必然有一個在學生之間、師生之間互相進行表達、交流、比較，批評和反思的過程． 新課程改革也要求教師必須改變角色，成為課堂中與學生平等的“首席”，促進學生實現學習方式的多元化，因此傳統的用正確答案替換學生頭腦中錯誤觀念的講評課受到置疑，而以學生自我體驗錯誤，經過自查自糾、反思交流、自我評價等多種形式的糾錯教學便呼之欲出，這并沒有削弱教師的主導作用，而是要求教師從更高的觀點去指導學生，以提高學生的認知水平，體驗數學學習給人帶來的成功愉悅感．