構造法在高中數學中的運用

隨著教育的發展，題海戰術已經無法適應現代教育的要求，也不符合素質教育的標準，因此，高中數學教師在教學中，在保證一定題量的基礎上，讓學生轉換思維，能夠借用一類問題的性質來研究另一類問題.而構造法正是思維轉換的具體表現.從根本上看，構造法思想的核心是根據題設條件的特征恰當構造一種新的形式.也就是說，當學生在解題過程中，發現使用常規辦法去探求解題途徑不起作用時，教師就應該有針對性地引導學生根據題設及其特點展開有效的聯想，并最終打開思路，找到其他的解題方法.而從教學作用上看，充分地運用構造法解題，也是培養學生創造性思維的一種有效方法.

一、構造函數解題

高中數學是整個中學數學的集合體，里面的知識聯系密切，環環相扣.學生只有整體把握，才能取得更好的成績.而在高中數學中，有些問題看似與其他知識點毫不相干，但實際上卻是關系密切.比如說有些數字題似乎與函數無關，但是如果我們根據題設的特點，就可以構造一個函數，然后再利用函數的有關性質來解決問題.

【例1】已知a、b、c、d、e均為實數，且a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值.

解：設f(x)=4x2+2(a+b+c+d)x+(a2+b2+c2+d2)，

因為f(x)=(x+a)2+(x+b)2+(x+c)2+(x+d)2≥0對任意實數x

總是成立的，所以判別式Δ=4(a+b+c+d)2-4×4(a2+b2+c2+d2)≤0，

從而得到Δ=4(8-e)2-16(16-e)2≤0，解得0≤e≤3．2，易見當a+b+c+d=1.2時，e的最大值是3.2.

二、構造方程解題

方程是數學中的重要組成部分，在高中數學解題中具有重要的意義.可以說，從初中數學到高中數學，方程思想始終是數學解題的重要思想，只有熟練運用方程思想，才能在各種數學問題中找到突破口.

【例2】a，b，c均為實數，證明：a，b，c均為正數的充要條件是：a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0．

分析：運用方程思想進行思考，就會發現a、b、c正好作一元三次方程的實數根，因此具備了采用構造方程來解題的基本前提.下面就直接從證明其充分性開始.

證明：

設p=a+b+c>0，q=ab+bc+ac>0，r=abc>0，則a，b，c是方程x3-px2+gx—r=0的三個實數根，由于x≤0不滿足方程，所以方程的實根必為正數，故a、b、c均為正數.

利用這樣的方程思想，避免了常規解題方法的繁瑣環節，大大提升了學生的解題效率.

三、構造向量解題

向量問題也是高中數學的重要內容，許多學生只是單純地把向量當做一個知識點來記憶，而忽視了它與其他知識點之間的關聯，從而失去了解題的另一種可能.高中數學教師應該向學生強化向量的概念，并引導學生利用向量來解決相應的問題.

【例3】求證:a2+b2+(1-a)2+b2+a2+(1-b)2+(1-a)2+(1-b)2≥22.

分析：本題的特點是左邊為幾個根式之和，因此可借助向量的模來解題

證明：設z1=(a，b)，z2=(1-a，b)，z3=(a，1-b)，z4=(1-a，1-b)，

那么，左邊｜z1｜+｜z2｜+｜z3｜+｜z4｜≥｜z1+z2+z3+z4｜=｜(2，2)｜=22，本題獲證.

四、構造圖形解題

數學是具體的，但是也是抽象的.精煉的語言，加上簡單的數字符號，就構成了一道數學問題.面對這么少的信息和條件，學生只能對信息進行擴大和轉換，讓數學問題具體化，才能更快地破題.而構造圖形，無疑是將數學問題具體化和簡單化的最佳方法.高中數學教師在教學中，應該盡可能地鼓勵學生通過構圖法來解題.

【例4】解不等式｜｜x-5｜+｜x-3｜｜＜6.

分析：從表面上看，這類題目的一般解法是通過分區間來求解，這無可厚非，但是卻顯得比較麻煩，而如果能夠在此構造雙曲線，那求解的過程就變得較為簡便.

解：設F1(-3，0)，F2(5，0)，則｜F1F2｜=8，F1F2的中點為O1(1，0).又設點P(x，0)，當x滿足題設不等式時，P點在雙曲線(x-1)29-y27=1的兩頂點之間，所以1-3

從上面的幾個例子，我們可以看出，構造法在解題中的應用是十分廣泛的，高中數學教師在教學中，應該注意引導學生從構造法的角度出發，思考問題.當然，從另一個角度上看，也足以證明學生在面臨一個數學問題時，必須要善于轉換思維，善于展開廣泛聯想，能夠在有限的信息中找到各類知識的橫向聯系，進而尋找到巧妙的解題途徑.這就需要教師在教學中經常對學生進行這方面的訓練，幫助學生逐步提高自己的思維能力和解題能力.

參考文獻

［1］馮曉華.巧用“構造法”解題［J］.云南教育(基礎教育版)，2004（35）.

［2］李華君.例談構造法解題［J］.河北理科教學研究，2003（01）.

［3］謝五長，吳水成.用構造法解三角題［J］.高中生，2004（12）.

（責任編輯金鈴）