數學教學應注重學生的合情推理

一、由案例引發的思考

在一次數學課上，教師出示練習題：“加工一批零件，甲獨做10天完成，乙獨做12天完成，兩隊每天做48個。如果甲和乙合作5天，那么就剩下240個沒有做完。三人合作幾天完成這批零件？”

學生讀題后都沉浸在冥思苦想中，數分鐘后有個學生發言：“我的答案是5天，不知道對不對，我是用240÷48求得的……”

未等小男孩講完，教室里就發出一陣笑聲，教者亦面帶慍色。

在教師的責備與同學們的嘲笑聲中，小男孩羞得滿臉通紅，默默地坐下了。

學生做課堂作業時，筆者問該生：“為什么用240÷48解題？”他說出自己的想法：“甲和乙合作5天后所剩余的240個零件由丙來完成，而丙平均每天做48個，所以丙完成240個就要用240÷48=5天，這個天數與甲、乙先前合作的天數相同，丙在甲、乙合作的時候也來參與，即三人合作，需要5天完成。”

這是多么獨特而簡潔的解法啊！這種合情推理不就是我們經常說的創新思維嗎？遺憾的是這一難得的“火花”卻被教者無情地澆滅了。

上述教學片段引發了我的思考：第一，現代的數學是一門較為成熟的被公理化了的科學，其內容的抽象性與邏輯的嚴謹性往往掩蓋了合情推理的存在及其重要性，掩蓋了創造過程中的數學面貌。在長期使用的教科書中只寫出經過嚴密論證的結論，沒有寫出這些結論產生的淵源及過程；第二，應試教育使不少數學教師對數學存在誤解，學生的任務是模仿復制。教師關注的是通過大量的再現性作業，讓學生考出高分，不注重數學猜測。第三，教師對學生提出的數學妙解誤解，教學中強調演繹推理，忽視合情推理能力的培養，致使學生基礎知識扎實而創新能力缺失。

數學創新能力的培養不是只靠演繹推理，還有合情推理。我們的數學教育不僅要培養學生的應用意識，還要使學生學會數學思考。《數學課程標準（實驗稿）》指出：“學生通過義務教育階段的數學學習，經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力。”所以我們在設計教學時應充分考慮學生主體性的發揮，讓學生充分經歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等豐富多彩的數學活動過程，有意識地培養學生的合情推理能力。

二、合情推理的含義

合情推理是一種合乎情理、好像為真的推理，它是數學發現的方法之一。合情推理不全都依據數學公理體系和數學定理進行推理，而是運用了一些特殊的推理方法，從所得命題的真假性來看，不像論證推理所得的命題那樣嚴密和穩定，似真非真和似真確真這兩種情況都有可能發生。因此，合情推理又被稱為似真推理。

《數學課程標準（實驗稿）》明確提出：第一學段“初步學會選擇有用的信息進行簡單的歸納和類比”；第二學段“進行歸納、類比與猜測，發展初步的合情推理能力”；第三學段“體會證明的必要性，發展初步的演繹推理能力”。其目的是有序地培養學生的推理能力，但小學階段以發展學生初步的合情推理能力為主要目標。

三、發展學生合情推理的策略

在小學數學教材中，大量采用了類比遷移、數學猜想等合情推理的方法，教學中要根據兒童的心理特點，結合教材內容，有意識地培養學生的合情推理能力，從而培養學生的創造性思維。

1？郾從特殊到一般，發展學生的歸納推理能力。把某類事物中個別事物所具有的規律作為該類事物的普遍規律，這種思維過程中由特殊到一般的推理稱為歸納推理。這是一種從個別到一般、從實驗事實到理論的一種尋找真理和發展真理的手段。在教學法則、定律、公式、結語及總結解題經驗時經常要進行歸納推理，而且一般用的是不完全歸納法，用不完全歸納法得出的結論不一定正確，還有待嚴格的證明。但是，不完全歸納法比較適合小學生的年齡特點，易于接受。因此，在小學數學教學中經常應用這種形式的推理。

發現規律。如：直徑1厘米的圓周長約3？郾14厘米；直徑2厘米的圓周長約6？郾28厘米；直徑3厘米的圓周長約9？郾42厘米；直徑4厘米的圓周長約12.56厘米。

歸納得出：一個圓的周長總是它的直徑的3倍多一些。

概括意義。如：10×就是求10的是多少；

24×就是求24的是多少；

72×就是求72的是多少；

由此概括得出：“一個數乘以分數，就是求這個數的幾分之幾是多少”的意義。

導出特性。如：

由1×8=8；4×1=4；1×6=6……

概括得出：“任何數與1相乘得任何數”這一特征。

歸納定律。如：

3×5×2=3×（5×2）；

9×4×5=9×（4×5）；

10×20×4=10×（20×4）……

得出：“三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘第三個數，或者先把后兩個數相乘，再同第一個數相乘，積不變，這叫乘法結合律”這一定律。

利用歸納推理還可以總結數量關系，推導計算公式等。教學中要有計劃地培養學生的歸納能力，對于低年級小學生，要從豐富的感性材料入手，由教師講解歸納逐步過渡到在教師引導下由學生對簡單問題進行歸納，在積累了一些經驗后，再逐步增加學生自己歸納推理的成分，當學生已經有了初步的歸納能力時，就可以放手讓他們自己進行歸納，進一步提高歸納能力。

2？郾從特殊到特殊，發展學生的類比推理能力。類比推理是根據兩個不同的對象的某些方面（如特性、屬性、關系等）相同或相似，推出它們在其他方面也可能相同或相似的思維形式，它是思維進程中由特殊到特殊的推理。波利亞曾高度評價類比的作用和意義，他指出：“類比似乎在一切發現中有作用，而且在某些發現中有它最大的作用。”“類比是提出新命題和獲得發現取之不竭的源泉。”類比也是一種尋找真理和發現真理的基本而重要的手段。

數學的一些概念和規律理論性強，比較抽象，如果將它與學生熟悉的（已知的）相關實體（事物）進行比較，就能幫助學生理解概念，掌握規律。如由“在除法算式中，除數不能為零”，類比推出“分數的分母不能為零”和“比的后項不能為零”。

在小學數學中，常見類比有：直線和平面的類比、平面和空間的類比、數和形的類比、有限和無限的類比等。類比之所以能進行并行之有效，就在于它抓住了事物普遍存在的相似性，把相差甚遠的兩類對象按其內在聯系的相似性加以類比。如：把平面幾何中的面積與立體幾何中的體積比較：

借助舊知識進行類比推理，可將學生的原有認知結構向橫向拓展，向縱向延伸，不僅能加深對知識的理解和掌握，而且能培養學生初步的推理能力。

類比的結果不一定正確，因為類比僅僅是推測，而不是證明。因此，類比的結果還要經過證明或檢驗。由于小學生受年齡的限制，一般不給予嚴密論證，而采用實例驗證。

3？郾從聯想到驗證，發展學生的數學猜想能力。牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現。”猜想又是合理推理最普遍、最重要的一種，歸納也好，類比也好，都包含猜想的成分。波利亞認為：“說得直截了當一點，合情推理就是猜想。”傳統的教學留給學生思維活動的內容和時間太少，不僅削弱了學生認知的發生過程，而且導致學生思維禁錮，不敢或不能提出猜想。這與培養學生的創新能力的時代要求是相悖的。為了發展學生的創造性思維，教師應該鼓勵學生對具體問題和具體教材進行分析，通過觀察、實驗、類比、歸納等手段提出猜想。這樣，不僅有助于學生掌握數學知識，滿足學生的求知欲望，而且能學會探求知識的方法。

數學猜想是運用非邏輯手段得到的一種數學假設，它是人在探索數學規律時的一種策略。數學猜想不是胡思亂想，而是合理猜想，著名的哥德巴赫猜想就是經過合理猜想而獲得的。既然是猜想，不可能都是正確的，但是畢竟向真理逼近了一步。在小學數學教育中，要積極創造條件，引導學生大膽猜想。

（1）在新課導入時猜想，激發學生求知欲望。如，教學“三角形的內角和等于180°”時，教師先出示三角形的某一個角（其余兩個角用紙板遮住），讓學生說出是什么類型的三角形？①露出一個鈍角時；②露出一個直角時；③露出一個銳角時。當出示了第③種情況時，有的說是銳角三角形，有的說是直角三角形，但老師拿出的卻不是他們所猜測的三角形，這是什么原因呢？有什么辦法能判斷準確呢？至此，學生產生了強烈的求知欲望和主動探索的興趣，教師很自然地導入對新知的學習。

（2）在展開教學時猜想，促進學生發現結論。在教學圓柱體的體積計算時，可以讓學生觀察、比較圓柱與長方體的相同點：如上下底的位置關系以及大小關系，兩底面之間的距離等，據此要求學生猜測圓柱的體積計算方法，并通過操作實驗驗證猜想的過程。

（3）在課堂總結時猜想，拓展學生的認知結構。如，圓柱的體積計算教學，讓學生猜測能否利用“底面積×高”計算出長方體、正方體、圓柱體以外的其他形狀物體的體積？這時學生思維活躍，聯想豐富，有效地拓展了學生的知識結構，豐富了所學知識的信息含量，提升了學生的思維水平。

發展小學生的數學猜想能力，一要營造和諧環境，鼓勵大膽猜想。二要積極引導啟發，滲透猜想方法。三要加強猜后檢驗，發展猜想能力。合情推理給了學生自由想象的空間，但是我們不能隨心所欲地任憑學生進行所謂的“合情推理”，而應該將“合情推理”能力提升為科學和理性精神。17世紀著名數學家萊布尼茲曾一絲不茍地利用數學的演繹法論證2×2=4：2×2=2×（1+1）=2+2=2+（1+1）=（2+1）+1=3+1=4這樣的推理言之有據，言之有理，是科學思維的方法。我們需要合情推理，使它成為學生充分展示自我的舞臺；我們也需要理性思維，逐步培養學生嚴謹的態度和科學的方法。所以我們要在培養學生正確推理的基礎上，恰當、精當地使用合情推理。

實施新課程，正因為它的復雜性和挑戰性而充滿魅力，它給我們提供了許多值得研究的新課題。關于學生合情推理能力的培養，還有很多需要我們不斷探索的領域，讓我們繼續在以后的課堂教學中大膽實踐、認真反思。

作者單位

楚雄師范學院附屬小學

◇責任編輯：曹文◇