從“數學思維”的角度追尋預設與生成的和諧統一

作為學校課程教育任務的數學，其重要的教學目標之一就是在教師的指導下，學生通過“再創造”，把靜態知識（課本中現成的數學知識的概念、規律和結論等）內化為自己的思維產品和創造性成果，在這一過程中，豐富數學情感，生成數學思維能力，學會數學地思考。這一過程應是動態的、豐富的、挑戰性的，可用如下圖式表現：

因此，數學教學從本質上講應該是數學思維活動的教學。而數學思維是由數學思維材料、數學思維方法、數學思維方式等組成的一個立體結構。本文結合數學課堂教學實踐，從“數學思維”的角度來追尋數學教學預設與生成的和諧統一。

一、數學地組織思維材料，提供廣闊的思考空間，實現預設與生成的和諧統一

“數學地組織思維材料”是指教師提供給學生的文本、圖像、視頻材料或創設的問題情景等思維客體（也稱為數學思維外部材料）具有充足的思維含量，廣闊的思考空間。我們知道，“數學思維”過程就是人腦對外部的數學信息接收、分析、選擇、加工和整合的過程。如果把“人腦”比作一個加工廠，那么教師提供給學生的思維外部材料就是“原料”，思維的結果就是“產品”。“產品”質量的高低往往取決于“原料”的優劣。因此，數學地組織思維材料，對學生的數學學習來說是一個十分重要的“基礎建設工程”。

例如，20以內的進位加法共計36道題。通過學習，要求學生一看到或聽到算題，就能說出得數。如果學生只是把36道題看做是互不聯系的算題，一道一道學，學生會感覺乏味、費事。如何解決多而要求又高的矛盾呢？有老師從系統論的高度對這部份知識材料作了整體結構化設計。

第一步，通過計算，指導學生編制20以內進位加法表（如下表）。

第二步，引導學生觀察、思考：你們能發現這個表格的結構有什么規律嗎？學生的發現很多。如，9加幾得十幾時，個位上的數總是比加上去的數少1，即9+N=10+（N-1），N為自然數；8加幾得十幾時，個位上的數總比加上去的數少2，即8+N=10+（N-2），N為自然數……又如，豎著看，從上到下，一個加數不變，另一個加數依次減少1，和也依次減少1；橫著看，從右往左，一個加數不變，另一個加數依次增加1，和也依次增加1；斜著看，和是11的有9+2、8+3、7+4、6+5等題；學生還發現單數和雙數相加的規律等等。學生在計算時，可以利用上述發現的規律來思考，避免死記硬背。

小學數學知識本身就是一個系統，它包含了許多小的系統。一個系統就是一個整體。上面的案例中把36道20以內的進位加法列成一張表，就組成了一個整體結構，發揮整體結構的功能，使結構成為開放的系統，便能擴大思考的空間，豐盈思維的含量。

再如，在新授某一知識后，為學生提供鞏固應用的練習材料時，也應改變過去封閉的練習內容和問題表述形式，給學生創設較廣闊的利用知識進行推理、判斷的思維空間。下列表中幾個問題的比較可見一斑。

顯然，表中的新穎問題比之于原來常規問題，學生有了更廣闊的思考空間。這類新問題變成了要求學生解釋為什么某些事情是這種情況，而某些事情又不是；要求學生創設滿足某些條件的例子，并探索解題的不同方法；要求學生從開放的問題情境出發，進行分析推理，并檢驗結論等。如上述問題4，在學生小組討論交流的過程中，生成了下列五種思維水平：

水平一：有，因為直角的邊是直的。

水平二：有，只要所有的邊長長度都相同。

水平三：沒有，因為所有的邊必須相等。

水平四：有兩個層次，即（A）沒有，因為直角三角形中必須有一邊（斜邊）較長，而等邊三角形各邊相等。（B）沒有，因為各角必須相等，而且三個角之和必須等于180度。

水平五：也有兩個層次，即（A）沒有。因為等邊三角形各角的度數必須相等，而等邊三角形不可能有三個直角，因為三個直角的和將是270度，而它又必須等于180度。（B）沒有，因為等邊三角形各個角相等，如果一個三角形有三個角，得到的將是正方形4條邊中的3條，不可能連接成三角形。

學生表現出的各種思維結果，是開放、探索性的問題情境所提供的數學思維外部材料與不同層次學生已有的數學知識和經驗結合后的“產品”，通過互相交流，每個學生又可以從其他學生的發言信息中獲取信息，生成新的認識。

二、數學化地組織學習過程，創設數學思維活動機會，實現預設與生成的和諧統一

人腦這一“加工廠”，有了好的原料，還需有好的加工手段和工藝。數學思維方法就是加工手段和工藝。以往的數學教學偏重于教師的講授，學生學習方式單一；偏重于對結論的解釋和整理，缺乏自主探索，獨立獲取知識的機會。而要學生獨立獲取知識，必須掌握和會運用科學的數學思維方法。在眾多的思維方法中，側重于探索發現的方法主要有觀察法、實驗法、歸納法、類比法、聯想發和猜測法等。如何讓學生習得這些數學思維方法，形成思維能力呢？2011年版數學課程標準明確指出：“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程”；教師要“為學生提供充分的數學活動機會”；“要處理好教師講授和學生自主學習的關系，通過有效的措施，啟發學生思考，引導學生自主探索，鼓勵學生合作交流，使學生真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，得到必要的數學思維訓練，獲得廣泛的數學活動經驗”。這正如弗賴登塔爾所說：“與其說學習數學，倒不如說學習‘數學化’。”

教師數學化地組織學習過程，讓學生學習“數學化”，這正是數學教學的意義所在。有這樣一個教學“平均數”的片段：

師：有三堆●，第一堆有6個，第二堆有11個，第三堆有4個。你有幾種辦法，使每堆的●一樣多？（出示下面的圖形）

第一堆●●●●●●

第二堆●●●●●●●●●●●

第三堆●●●●

（學生通過實驗操作、討論，得出了三種方法）

生1：第二堆中移1個到第一堆，再移3個到第三堆。（師生共同總結此法為“移多補少法”。）

生2：先把●都合起來，再平均分成3份。

師：這種方法是先求和再等分，可以用算式表示并計算。

生3：（6+11+4）÷3=7（個）

生4：以最少的第三堆為4個●為準，先把第一堆和第二堆多出來的●合起來，再重新分成同樣多的三份，每一份加到各堆中去，這樣每堆的●就一樣多。

師：我們剛才用移一移、算一算的方法，其實就是求出一個平均數。（板書：平均數）請同學們把移動后的圖形和原來的圖形比一比，什么變了，什么不變？（出示下面的圖形）

第一堆●●●●●●●

第二堆●●●●●●●

第三堆●●●●●●●

（學生發言，教師板書：總數、份數不變。移多補少、每份相等）

教師出示鞏固練習題：分別有8個、2個、1個、5個，請選一種自己最喜歡的方法，使每份同樣多。（學生充分發言，教師給予肯定和鼓勵。）

教師提問引導小結：說一說，什么叫做平均數呢？

學生歸納綜合：在總數不變、份數不變的情況下，采用移多補少的方法可以使每份數相等，這樣得到的這個相等的數就是這幾個數的平均數。

在這個案例中，教師科學地組織學習過程，讓學生學習“數學化”。首先讓學生動手操作實驗：“使每堆的●一樣多”。這一活動提供了蘊含平均數概念的含義和學生數學思維的客體，在活動中，學生通過“物”的外化操作，從思維外部材料的操作中獲取信息，并與自己頭腦中已有的關于一樣多、平均分等數學知識經驗進行相互作用，想出了三種解決問題的方法，獲得了感性經驗。在此基礎上，教師引導學生觀察比較：“什么變了，什么不變”。最后引導學生綜合概括，抽取概念的本質屬性，理解了平均數的含義。學生經歷了“操作實驗——觀察比較——綜合概括”的數學思維訓練，獲得了重要的數學活動經驗和數學能力。

三、靈動地營造思維“磁場”，鼓勵多樣數學思維方式，實現預設與生成的和諧統一

有這樣一個故事：有一個人在山里買了一根長長的毛竹，橫著扛在肩上進城，可是城門的寬度不及毛竹的長度，他使了半天的勁，也沒通過城門。后來還是經過旁人的指點，把毛竹旋轉90度，使毛竹兩頭朝前后的方式，輕易走過了城門。編這個故事的人只是想提醒人們做事不能“一根筋”，亦即思維方式不能單一、僵化。在數學上，數學的思維方式就是指數學思維過程中主體進行數學思維活動的相對定型、相對穩定的思維樣式。它是數學思維方法與形式的統一，并且通過一定的數學思維內容而得以體現。數學思維方式可以按照其不同的標準進行分類。如，按照數學思維的形式來分，可把它分為邏輯思維、形象思維和直覺思維三類；按照思維指向來分，可把它分成集中思維和發散思維兩類；按照思維結果有無創新來分，可把它分成再現性思維和創造性思維兩類。我們不能說哪種思維方式重要，因為具體的思維活動過程往往不是一種思維方式的運用，而是上述思維方式的有機結合和相互作用的過程。

在教學“稍復雜的分數除法問題”時，教師預計學生會受以前學習整數相差問題形成的思維定勢“如果a比b多n，那么b就比a少n“的影響，產生負遷移。保守的教師會加以預防，采用以“師法為主”的方式，把學生的思路納入某一框架內。而一個優秀的教師又會怎么做呢？看下面的案例。