從生活經驗到數學概念

“比”是人教版實驗教科書數學六年級上冊中出現的一個重要的數學概念，這個數學定義用詞簡單：“兩數相除又叫做兩個數的比。”定義的內涵是“兩數相除”。

在實際生產生活中，人們也常用到“比”，生活中所用的“比”一般只涉及第一種外延，即同類量相比的情況。如男女生的人數比、果汁和水的質量比、模型和實物的長度比。再如，黃金比、連比、百分比、比例尺等等都是同類量的比，日常生活生產中幾乎沒有不同類數量相比的例子。在人們的印象中，“比是同類量相除”的印象非常深刻，這與數學中“比”的概念有出入，不完全一致。

當生活經驗和數學概念不一致時，我們在解讀教材和教學實踐中總存在困惑和質疑。在多次教學探討中，我發現老師對“比的定義”普遍存在著這些問題。

（1）“神舟五號”的路程和時間的比“42252∶90”不是兩個同類量相除，與生活經驗不符，那么算一個“比”嗎？如果是一個數學比，那么比應該是沒有單位，而42252千米除以90分鐘的商怎么會有單位名稱？比的結果應該是唯一的，而路程除以時間的結果卻不是唯一的（42252千米÷90分鐘≈469.47千米/分鐘，42252÷5400秒≈7.82千米/秒）。怎么解釋呢？

（2）生活中比賽的比分3∶0是一個數學比嗎？如果是一個比，那么比的后項可以為0，是不是比的定義不夠完整？

（3）不同類量相除形成的比，有無數學的意義和價值？

這些對于“比的定義”的疑問，時常困擾著教師，我覺得有必要對“比的定義”進行研讀和思考，對這一知識進行學習，解答疑問，幫助教學。

一、研讀

1.橫向對比——不同版本教材的對比發現

人教版教材是這樣定義“比”的，并以國旗的長寬之比和“神五”的路程和速度之比舉例說明。那么其他版本的教材中“比”的概念又是怎樣定義的呢？于是，我查找了蘇教版和北師大版小學數學教材。蘇教版數學六年級上冊的《認識比》一課指出“兩個數的比表示兩個數相除”，例題所舉的比是：果汁和牛奶的杯數比是2比3；路程和時間的比是900比15。北師大版數學六年級上冊的《比的認識》一課指出“兩數相除，又叫做兩個數的比”，例 題所舉的比是：羽毛球比賽輸贏場數的比是6比2；馬拉松選手所跑的路程和時間的比是40比2；蘋果的總價和單價的比是15比3；長方形長和寬的比是6比4。對比這三種教材，我發現對“比”的定義，其內涵都是“兩數相除”，其外延都包含了同類數量和不同類數量相除兩種情況。

2.權威數學論述的查找發現

三種教材論調一致，那么數學論述上，對“比”到底是怎么定義的呢？我查看了上海科學技術出版社1989年出版的《算術辭典》，其中對比的論述是：“比，最早是同類量相比，比較兩個同類量之間的倍數關系，叫做這兩個同類量的比，在單位相同時，兩個量的比可以用表示這兩個量的數的比來代替。在實際中，有同類量相比，也有不是同類量相比的，所以可以說成是‘兩個數相除又叫做兩個數的比’。”由此可見，不是同類量的兩個數相除，也是比的一種形式。

有的文獻上明確指出：“比是兩個數量的一種對等關系。”根據情境的不同，這種對等關系有四種形式：一是組合關系，兩個量都是同一全體量中的部分，如親子游戲需要2名成人和3名孩子參加；二是母子關系，兩個數量為同類量，且一個是全體量，一個是全體量的部分，如一打（12件）襯衫中藍色的件數是5件；三是交換關系，兩個量指兩堆物體具有相同的價值，可以交換。如拿12本雜志換得了等價值的5本小說；四是密度關系，兩個不同類的量，描述同一種物體的不同性質，比值作為密度，如30立方分米的水重30克。這四種對等關系都可以用數學比來表示。這里提到的第四種就是不同類量相除的形式。

3.縱向對比——對其他數學自然學科概念的影響

除了橫向地對不同教材和權威論述的資料研究，我還縱向地研究了“比的定義”對數學中其他概念以及自然學科的部分概念定義的影響。由“比”衍生出來的數學概念還有比例、正反比例等。比例是指表示兩個比相等的式子。如人教版實驗教科書六年級下冊第36頁第1題，兩個箱子的質量和數量之比30∶2和120∶8，可以組成一個比例30∶2=120∶8，在這里的兩個比都是單位不同數量相除的形式。正比例是指兩種相關聯的量中相對應的兩個數的比值一定，這兩種量就是成正比例的量。如人教版實驗教科書六年級下冊第39頁，當圓柱的體積和高度之比的比值一定時，它們成正比例關系，這里的圓柱體積和高度的比也是單位不同的數量相除的形式。

在自然學科中，還有類似于比重、壓強等概念。某種物質的質量和其體積的比值，即單位體積的質量，叫做這種物質的密度。這里的質量和體積之比，就是不同單位數量相除的形式；物理學中的壓強是表示物體單位面積上所受力的大小的物理量，其表現形式是壓力（單位：牛頓）和受力面積（平方米）兩個量的比值，也是不同類量相除的比。

可見，對于“比的定義”，如果去除了第二種外延，將無法進行其他的數學概念的定義，無法進行其他學科中有些概念的定義了。

二、釋疑

綜上所述，我認為數學的“比的定義”的外延應包括兩部分。即同類量和不同類量的兩數相除的形式都是比。

也就是說，“神五”的路程和時間的比“42252∶90”毋庸置疑是一個“比”，那么怎么解釋單位名稱和結果不唯一呢？我們可以這樣理解：42252千米除以90分鐘的商是有單位的，那是比值所指的含義，這與是不是“比”并沒有直接關系；兩個不同的答案是兩組不同比的比值，即52252∶90和42252∶5400，結果當然不同，如果要參考其意義，那么嚴格來說，這兩個比值所指的還是相同的，都是飛船的速度，而飛船的速度無論用什么速度單位來表述，其本質是一樣的。

我們知道，數學和生活密切相關，但是數學的嚴密概念與生活的直觀經驗并不是等同的。數學概念有著它本身的邏輯性和嚴密性，生活經驗更多地受個人的認知、情感的影響，我們應該嚴格將兩種區分開來。把比分3∶0看成數學比的教師，就是將生活經驗和數學概念相互混淆了，從“兩數相除叫做兩個數的比”這個概念出發，3比0根本沒有3÷0的含義，也不存在兩個比分的倍數關系，所以它不是數學比，僅僅是比分書寫的一種形式，這個比分的意義更多的在于比“差”，即看誰比誰高或低多少。

和生活中的“比”相比，不同類量相除的比有什么價值和意義呢？數學上我們常用“比例”解決實際問題，這種方法有其獨特的靈活性、簡捷性和廣泛性，而所用的也是不同類量相除的比，如果規定“比”僅僅只能表示“同類量相除”，那么很多實際問題都不能用比例來解決了，那么“比”就失去了學習研究的意義；不同類量的比在實際生活中很少出現，但是它在數學和其他學科的概念定義上，作用卻很大，數學中的“正比例”“反比例”，自然科學中的“比重”“壓強”等，都以這類比來定義，如果把“不同類量相除”這一外延剔除，那么很多數學或其他學科中的概念將無法描述了。所以“不同類量的比”其意義和價值不可小覷。

三、思考啟發

數學中有許多概念，有的與生活經驗完全一致，有的不完全一致，有的甚至相去甚遠。我們應該如何認識生活經驗和數學概念的不一致呢？

數學來源于生活，但卻高于生活，數學概念的定義是以生活為基礎抽象概括形成的，具有普遍意義。人們的生活經驗雖然也是在生活中形成的，但是不同的個體在對事物的理解、概括上往往存在著一定的多樣性或不完整性。所以生活經驗不等同于數學概念。再如，“角”的數學定義是：“一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角。”角的度數可以大于360°，也可以小于0°。這與人們生活觀念：“角的度數不大于180°”不一致。這時候，我們要做的不是對數學中角的定義進行質疑，而是要加深對“角”概念的認識：小學階段我們不涉及大于180°的角，但隨著學習的深入，再來理解和掌握“任意角”的概念。

綜上所述，當生活經驗和數學概念沖突時，我們不應該對數學概念產生質疑，而應該加深對數學概念的理解，正確區分生活經驗和數學概念 。?