厚積薄發(fā) 發(fā)展思維

案例一： 作業(yè)問題摘錄

蘇教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書配套習(xí)題冊，六年級下冊數(shù)學(xué)《補(bǔ)充習(xí)題》第73頁第4題：兩只螞蟻分別從A點出發(fā)（如右下圖），沿紅、藍(lán)兩線爬行，最后又回到A點。（每段爬完但不重復(fù)）哪只螞蟻爬的路線長？為什么？

圖（1）

生甲：沿紅線爬的路線長，因為畫紅線的時間比畫藍(lán)線的時間長2秒鐘。

生乙：兩只螞蟻爬的路線一樣長，因為把紅線拉直了就和藍(lán)線一樣長。

生丙：沿藍(lán)線爬的路線長，可以先測量紅色圓和藍(lán)色圓的直徑，再計算周長，我發(fā)現(xiàn)藍(lán)圓的周長長些。

一、透過學(xué)生作業(yè)看，不同層次的學(xué)生用不同解決問題的方式

學(xué)生甲模擬螞蟻爬行，用筆畫線，記錄下所用時間進(jìn)行比照。學(xué)生甲之所以這樣做，是源于他的生活經(jīng)驗：走紅線比藍(lán)線要多轉(zhuǎn)折幾次，因而費時，費時就是走的路線長。學(xué)生乙通過仔細(xì)觀察，感覺兩條線一樣長，但無法說清楚，只能采用他認(rèn)為意識里可以想象的方式進(jìn)行表達(dá)。學(xué)生丙用科學(xué)研究的方法，通過測量和計算來追尋結(jié)果，由于測量的誤差，導(dǎo)致功虧一簣。

二、學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的問題值得反思

從學(xué)生的作業(yè)態(tài)度看，無可非議的是：孩子們都是努力的，是勤于動腦動手的，盡管學(xué)生甲和丙的結(jié)果是錯誤的，但是我們不能一味地責(zé)怪學(xué)生的想法幼稚，思考膚淺，應(yīng)該及時反思我們的教學(xué)。

1.缺乏引導(dǎo)的教學(xué)是盲目的

從上面案例可以看出，學(xué)生未能正確運用已經(jīng)學(xué)過的“解決問題的策略”來進(jìn)行思考，思維還處于淺層次狀態(tài)：學(xué)生甲未能弄明白題目的意圖，學(xué)生乙依靠印象猜測，學(xué)生丙是機(jī)械模仿。我想，學(xué)生出現(xiàn)的問題應(yīng)與教師的教學(xué)有一定的關(guān)聯(lián)。因為這道習(xí)題的出現(xiàn)不是隨意的，而是建立在學(xué)生已經(jīng)掌握一定的解決問題策略的基礎(chǔ)之上。與之配套的教材第74頁已經(jīng)出現(xiàn)過類似的題型：計算圖形（2）（如下圖）的周長。

如果教師能引導(dǎo)學(xué)生觀察水滴圖的周長，把圖形的周長分割成圖（3）、平移成圖（4），再進(jìn)行圖（4）小圓周長、大圓半周長計算，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：小圓周長=大圓半周長，小圓周長+大圓半周長=大圓周長，這樣水滴圖的周長最終可以轉(zhuǎn)化成圖（5）大圓的周長。因此，在課堂教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷圖形轉(zhuǎn)化的過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，幫助學(xué)生理解題意，掌握一定的解題方法，獲得基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

2.缺失數(shù)學(xué)味的教學(xué)是膚淺的

圖（2）水滴圖周長的計算，如果僅僅停留在探求結(jié)果的層面是不夠的。教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生作進(jìn)一步的觀察和思考：圖（2）中兩個小的半圓直徑之和與大的半圓直徑之間有什么關(guān)系？那么周長之間會有什么關(guān)系？讓學(xué)生感悟到不斷轉(zhuǎn)化的背后隱含著什么。經(jīng)過教師的點撥，學(xué)生很快體會到圖（2）可以轉(zhuǎn)化成圖（5），是源于小的半圓直徑之和恰好是大的半圓直徑。教師引領(lǐng)兒童經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，是數(shù)學(xué)課堂的點睛之筆，它可以很好地解決兒童思維的具體形象性和數(shù)學(xué)題目抽象性之間的矛盾，促使學(xué)生思維向更深層次發(fā)展。

3.缺少變式練習(xí)的教學(xué)是單薄的

接著，如果我們把圖（2）的問題保留，只把圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，使原題變成（如下圖）：

讓學(xué)生在相似的問題情境中，進(jìn)一步理解知識，掌握技能技巧，達(dá)到培養(yǎng)積極情感和態(tài)度，促進(jìn)兒童高層次發(fā)展的目標(biāo)。這樣的變式練習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力、舉一反三能力最有效的方法之一。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了這樣的思維磨礪，再來思索圖（1）的問題，學(xué)生的思考力會相應(yīng)提升。

案例二：“認(rèn)識平行”中畫平行線的教學(xué)

師：你能自己動手畫平行線嗎？

生：能。

師：你說老師畫。

生：先畫一條直線，再按住尺子向下平移。（教師根據(jù)學(xué)生的比劃在黑板上畫，如下圖。）

師：是這樣畫的嗎？（得到學(xué)生的認(rèn)可）如果平行線之間的距離再大一點，你能確定這樣畫一定是平行的嗎？

生： （想了一會）不能確定。

師：怎么辦呢？下面請出電腦老師畫。（多媒體演示兩遍畫平行線的方法和步驟，教師再在黑板上示范。學(xué)生模仿試畫。教師巡回檢查。）發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生這樣畫：

師：有同學(xué)這樣畫，對嗎？

生：錯的。

師：是的，應(yīng)該用三角板的直角邊與直尺的邊靠起來。（教師糾正）

學(xué)習(xí)畫平行線是這節(jié)課的難點，盡管教師通過電腦演示和自己示范，但仍然有一些學(xué)生沒能掌握方法；盡管老師也作了糾正，但我認(rèn)為教師處理這個錯誤太過急躁，沒有充分發(fā)揮它應(yīng)有的有效教學(xué)資源的功能。事實上學(xué)生發(fā)生這樣的錯誤不僅表現(xiàn)在課堂上，課后的作業(yè)中也很常見。究其原因是學(xué)生在上新課之前就已經(jīng)默認(rèn)了“隨意”畫法，盡管有電腦的演示、教師的示范，但學(xué)生意識中的錯誤認(rèn)識并未完全清除，正確的認(rèn)識又未能建立。在教學(xué)的這一環(huán)節(jié)，我們應(yīng)該調(diào)整上課的節(jié)奏，不妨駐足停留，引導(dǎo)學(xué)生找出犯錯的原因及糾正的方法，及時鞏固畫平行線的正確方法。這樣既可以培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真對待錯誤，辨析錯誤，糾正錯誤的能力，又能培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)習(xí)能力，使我們的課堂教學(xué)更有效。

一、辨明曲折

針對畫平行線中出現(xiàn)的錯誤，我們可以組織學(xué)生討論：

（1）這樣畫有沒有發(fā)揮直尺的作用？與“隨意”畫有沒有區(qū)別？

（2）你知道錯在哪里嗎？

通過思辨，讓學(xué)生明白雖然畫的時候用上了兩把尺，但實際上這樣畫并沒有發(fā)揮直尺的作用，仍然不能確定所畫的直線一定是平行線。

二、引導(dǎo)糾錯

當(dāng)學(xué)生明晰了錯誤后，我們可以這樣啟發(fā)學(xué)生的思維：你能想到哪種方法進(jìn)行糾正？看誰的方法容易操作？這樣充分發(fā)揮學(xué)生的聰明才智，從學(xué)生的視角看錯誤，糾正錯誤，教師再引導(dǎo)點撥，學(xué)生的思維才能步入正軌：改法一（如下圖），需要改變?nèi)前宓奈恢?，三角板的一條直角邊與已知直線重合，另一條直角邊緊靠直尺邊，然后把三角板向上或向下平移。改法二，可以不改變?nèi)前宓奈恢茫恍璋阎背叩倪吘o靠三角板的一條直角邊，斜邊與已知直線重合，再平移三角板（如下圖）。

三、強(qiáng)化訓(xùn)練

強(qiáng)化訓(xùn)練不僅能進(jìn)一步鞏固正確畫法，而且有利于發(fā)展學(xué)生的空間思維能力。

1.畫已知直線的平行線。

2.過A點畫已知直線的平行線。

課堂教學(xué)中，學(xué)生由于認(rèn)知水平、注意力等方面存在差異，有些學(xué)生對新知的理解會產(chǎn)生偏差，甚至出現(xiàn)錯誤。作為教師應(yīng)及時發(fā)現(xiàn)，把握時機(jī)，調(diào)整課堂節(jié)奏，把“錯誤”作為一種不可或缺的教學(xué)資源，加以開發(fā)利用，努力提高自己課堂教學(xué)的應(yīng)變能力，同時啟發(fā)學(xué)生思維，使學(xué)生的思維能力得到發(fā)展。?