循序漸進，引導小學生獲取初步極限思想

極限是用以描述變量在一定變化的過程中的終極狀態的概念。是人們從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變的一種數學思想方法，它是事物轉化的重要環節。教師要在小學數學教學中針對小學生的年齡和思維特點，將現行小學教材中的極限思想有意識地進行分層遞進教學，引導學生逐步感悟并獲取初步極限思想。

一、從具體到抽象，感受無限延伸

現行小學教材中有許多知識點蘊含著豐富的無限延伸的情況。 如在教學奇數、偶數、 自然數等的概念時，教師可讓學生感受到奇數、偶數個數的無限多個，自然數個數是數也數不完的。又如在循環小數教學中，2÷3=0.666……是一個循環小數，無限延伸，它的小數點后面的數字是寫不完的。通過這些方面讓學生初步感受“無限”思想。

在“圖形與幾何”教學中培養學生的空間想象力，培養學生的無限觀念也是非常重要的。如直線、射線、角的邊、平行線的長度等，它們都是可以無限延伸的。這些概念是只存在于人腦的想象之中，是人腦抽象的結果。而這種想象又是進一步學習數學的必不可少的基礎能力。因此，教師要引導學生經歷從有形到無形體驗，感受圖形無限延伸，以增強在圖形教學中培養學生空間想象力的效果。

例如，“射線的初步認識”教學片段。

師：請同學們在白紙上畫一條2厘米長的線段，說一說它有什么特點。

生：它是直的，用尺可以量出長度，它有兩個端點。

師：請同學們在白紙上畫一條3厘米長的直線，有什么問題?

生：不對!直線是沒有長短的！

師：為什么?

生：因為直線可以向兩邊無限延長。

師：無限延長是什么意思?

生：就是無限的長，沒完沒了的意思。

師：下面請同學們仔細觀察老師的演示(將紅色激光電筒射向天空)，如果光束沒有受到阻礙的話，請你畫出來。

師：這就是我們今天要學習的射線，它有什么特點呢?

生：一個端點、直的、可以向一個方向無限延長、不可度量。

讓學生一下子認識到圖形的無限性是有一定難度的，上面的教學片段中，教師通過學生自己動手，建立起對線段、射線、直線認知的矛盾沖突，這樣巧妙的教學設計使得學生輕松地建立了對直線、射線的無限的空間感觀，真實、自然又不失嚴密。在我們周圍的事物中，是找不到那種可以真正地被看成是“無限的直線”的東西的。學生在教師的引領下，走出有限的幾何觀念，形成無限的幾何空間想象，極限思想在圖形概念形成初期呼之欲出，為后續學習埋下伏筆。

二、從持續延伸到無限逼近，體驗極限狀態

由于小學生的生活經驗與數學知識還比較貧乏，他們只能通過一些具體的事例，逐漸體驗到什么是無限地逼近。因此，逐步體驗逼近是形成極限思想的另一個重要方面。

例如，在“循環小數”的教學中，0.99……這個數無論小數點后面9的個數怎樣增多，它始終只能越來越接近1，而不等于1。為了幫助學生體驗極限狀態，教師讓學生比較0.99……和1大小，讓學生找大于0.99……而小于1的數，學生找不到這樣的數，從而告訴學生0.99……無限逼近1。讓學生體驗到“0.99……”這個小數后面的“9”有無限多個，誰都數不完，但有一點是肯定的，這個數 無限逼近的終極狀態就是1，但又不等于1。

又如，在教學“分數解決問題”時，在學生完成“一塊面包，今天吃它的，明天吃它剩下的，還剩這塊面包的幾分之幾？”后，教師又出了這樣一道思考題：一塊面包，今天吃它的，明天吃它的的，后天吃它的的的……如果一直這樣下去，這塊面包吃得完嗎？通過學生的討論得出這樣的結論：這塊面包是永遠吃不完的，理論上是這樣，實際上也是這樣，盡管面包越來越小，但還是有的（只要你有耐心，灰塵大的物質都是有的）。我們只能說，這塊面包最后的極限為零，但卻絕不為零。為了讓學生充分體驗極限狀態，上面的例子我們還可以引導學生用數形結合法畫圖幫助理解。

以上的例子，使極限理論中無限逼近的概念在學生頭腦中產生了朦朧的定義。這為他們將來學習極限理論，提高抽象思維，做了很好的鋪墊。

三、從無限逼近到極限，“感悟”極限思想

例如我在教學《圓的面積》這一課時，學生把圓八等分，拼成近似的平行四邊形時，有一個學生突發奇想。他認為將形如波浪的部分剪掉變成直線就可以求平行四邊形的面積，圓的面積也就可以求了。更可貴的是，這位學生在教師的鼓勵下說出了變曲為直的思想。之后，在教師的引導下，學生討論后，得出用“無限細分”的方法可以既不改變原面積的大小，又能把曲線變直。

又如通過多媒體課件演示，把圓平均分成若干份時，有的學生會提出其中的一份有點像三角形。教師適時跟進提出：“那么有沒有辦法使它更像三角形”的問題。學生通過討論得出“分的份數越來越多，且這樣一直分下去就無限逼近三角形”的結論。同時，教師通過課件讓學生充分感受到每個扇形的弧的形狀視覺變化，即分的份數越來越多，弧就由曲變直的過程，增強形象直觀感。當n無窮大時，這個小扇形可以看作是一個三角形。因為三角形的高等于圓的半徑，底等于圓周長除以n，所以n個三角形的面積S= (2πr÷n)×r÷2×n =πr2。從而同樣能推導出圓的面積S=πr2。從這個角度探究極限，操作方便，學生易接受，且自主性高，能有效深化極限思想。

以上計算公式的推導過程，采用化圓為方、變曲為直的極限分割思路。在觀察有限分割的基礎上，想象無限細分，根據圖形分割拼合的變化趨勢，想象它們的終極狀態。這樣不僅使學生掌握了圓的面積計算公式，而且非常自然地在“曲”與“直”的矛盾轉化中獲取無限逼近的極限思想。這個過程中從“分得分數越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，學生經歷了從無限到極限的過程，感悟極限思想的巨大價值。學生有了這個基礎，在以后推導圓柱體的體積公式時就會自然而然地想起這種方法，從而為學生的后續學習奠定基礎，在不斷的應用中初步獲得極限思想。

在小學階段極限思想的獲取可以在著重培養學生的“無限”想象力，在圖形教學中培養學生空間想象力，培養學生的無限觀念、體驗無限逼近、領悟終極狀態等方面下工夫，形成一個系統性的循序漸進策略。

（作者單位：福建省平潭實驗小學?搖?搖?搖責任編輯：王彬）