以“表征”為突破口 積累基本活動經(jīng)驗

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》將“雙基”擴展為“四基”：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。積累基本活動經(jīng)驗，對于形成比較完整的數(shù)學(xué)認識過程、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的意義。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程中獲得的對數(shù)學(xué)的體驗和認知，從維度上分為數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)活動過程中的體驗；也表現(xiàn)為靜態(tài)和動態(tài)兩個層面。筆者認為，引導(dǎo)學(xué)生進行多元的思維表征活動，是積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的主要途徑。

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗具有主體性、過程性、內(nèi)隱性、實踐性等特征，因此它是學(xué)生悟出來的，想出來的，而不是教會的，因此積累活動經(jīng)驗總得依賴一些活動，動手操作的經(jīng)驗是基本活動經(jīng)驗，抽象的思考、探究的經(jīng)驗、數(shù)學(xué)語言表達的經(jīng)驗等也是基本活動經(jīng)驗的重要組成部分。我們應(yīng)基于學(xué)生的樸素經(jīng)驗，讓學(xué)生綜合運用觀察、操作、表述、游戲、小組討論等生動活潑的形式，經(jīng)歷基于動作表征的經(jīng)驗向基于圖像表征的經(jīng)驗再向基于符號與邏輯表征的經(jīng)驗獲得過程，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。下面就以《有余數(shù)的除法》的教學(xué)為例，談?wù)勅绾我浴氨碚鳌睘橥黄瓶冢瑤椭鷮W(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的相關(guān)策略。

一、關(guān)注動作表征，獲得直接的感性活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)的本質(zhì)方法常常隱含在樸素的經(jīng)驗和學(xué)生已有的知識中。比如對于《有余數(shù)除法》而言，學(xué)生的經(jīng)驗在于對物體進行平均分的活動經(jīng)驗、對有余數(shù)除法的模糊認識、乘加乘減、連續(xù)減法、表內(nèi)除法解決問題的經(jīng)驗等。教學(xué)中，就可以從學(xué)生的感性經(jīng)驗入手，通過動手操作，化抽象為直觀。

教學(xué)片段1：余數(shù)意義和有余數(shù)除法橫式的意義

師：8根小棒可以擺幾個正方形？你能用算式表示出來嗎？

生：8÷4=2（個）。

師：9根小棒可以擺幾個正方形呢？和剛才有什么不一樣？

生：沒有用完。

生：還多出1根。

師：如果我們拿10根、11根、12根小棒分別擺正方形，結(jié)果會怎么樣？請你們擺一擺，并把結(jié)果記錄在下面的表格里。（學(xué)生獨立活動）

師（展示學(xué)生的活動成果）：用12根小棒，可以擺2個正方形，還余下4根，你認為可能嗎？

生：不對，不可能多出4根。

生：余下的4根還可以再擺一個。

師：那可能余下5根、6根，甚至更多嗎？

生：不可能的，因為這樣的話還可以繼續(xù)往下擺。

師：那么，余下的根數(shù)可能會是幾根呢？最多不超過幾？

生：可能會是1，2，3。

生：最多不會超過4。

師：其實余下的根數(shù)，在數(shù)學(xué)上有個名稱叫余數(shù)。11根小棒能擺2個正方形，還余下3根。你能用算式來表示嗎？

生：2×4=8（根），8+3=11（根）。

生：11－2×4=3（根）

生：11－4－4=3（根）

生：11÷4=2（個）還剩3根。

生：11÷4=2（個）加上3根。

師生交流評價這些方法，教師板書規(guī)范的有余數(shù)除法的橫式，讓學(xué)生說一說每一個數(shù)的名稱與表示的意義。

……

學(xué)生在搭小棒寫算式的過程中激活他們自身已有的感性經(jīng)驗。學(xué)生面對搭擺出的結(jié)果，如何在算式中表示，他們每人都有自己的不同的方法。學(xué)生最原始的算法往往體現(xiàn)了最基本的原理，從他們的策略中可以發(fā)現(xiàn)他們的思維軌跡。教師展示學(xué)生的成果，并說出每個數(shù)字或符號所表求的意思，這樣學(xué)生就能主動地將“感性經(jīng)驗”加工、抽象成“數(shù)學(xué)符號”的原型，教師在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)把這些方法進行優(yōu)化，把除法算式跟小棒聯(lián)系起來，化抽象為具體，又在具體中提升出抽象內(nèi)涵，動手操作的活動經(jīng)驗也在這個過程中得到積累。

二、運用圖形表征，關(guān)注活動經(jīng)驗的領(lǐng)悟過程

數(shù)學(xué)教學(xué)中的操作，不是為了操作而操作。具體的操作活動和背后的數(shù)學(xué)知識密切聯(lián)系在一起，因此，要善于利用操作，幫助學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識由表面到深層的理解。圖形表征可以讓學(xué)生在腦中畫圖，用示意圖、草圖等形式表現(xiàn)出來，是對動手操作的糾正、補充、細化和深化。在接觸圖形表征的過程中，學(xué)生不僅能夠熟練、有序地完成操作，也可以對問題進行深層次的思考，形成更深刻的、個性化的認識和體驗，使外在的操作真正內(nèi)化為學(xué)生認識的動力，使數(shù)學(xué)教學(xué)走向深入，走向精彩。

教學(xué)片段2：

師：如果我們拿剛才的11根小棒，來擺△與，可以擺幾個？還余下幾根呢？請你們閉上眼睛想一想該怎么搭，再動手畫一畫，看看和腦子里想的是不是一樣？然后用算式表示出來。

生：?搖?搖?搖?搖11÷3=3……2

生：?搖?搖?搖?搖11÷5=2……1

師：如果我們繼續(xù)拿12根、13根、14根、15根，來擺△、，可以擺幾個？還余下幾根呢？請你們先在腦子里搭一搭，再用算式表示出來。（學(xué)生獨立活動，交流反饋）

師：如果我們來搭三角形，余下的根數(shù)可能比3多嗎？搭五邊形呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？（學(xué)生自由說，討論得出余數(shù)必須比除數(shù)小）

……

通過圖形操作豐富學(xué)生的活動經(jīng)驗，使動手操作之后產(chǎn)生的圖形表征真正成為學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動、形成數(shù)學(xué)形式化的有效中介，使他們更好地理解余數(shù)比除數(shù)小的關(guān)系。教師借助圖形表征，在教學(xué)中關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的領(lǐng)悟過程，并幫助學(xué)生建立多重知識表象。

三、運用符號與邏輯表征，凸顯活動經(jīng)驗的內(nèi)化過程

在經(jīng)歷知識的形成過程中，注重數(shù)、形、義結(jié)合的符號與邏輯表征，凸顯感性活動經(jīng)驗的內(nèi)化過程，將使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗也在此過程中得以提升。

教學(xué)片段3：

1. 我們學(xué)過加法和減法的豎式，你想學(xué)除法豎式嗎？你能把11÷5=2……1這個算式改寫成除法豎式嗎？

獨立活動后，展示結(jié)果：

2. 你認為哪種方法最能反映出剛才我們擺小棒的過程？

教師說明在數(shù)學(xué)里，一般采用第二種方法，減號省略不寫。教師在黑板上書寫規(guī)范的豎式過程，學(xué)生模仿。

3. 說一說，豎式中的11、5、2、10、1分別表示什么？（教師指著橫式、豎式中的數(shù)）請你在畫的圖中指一指相應(yīng)的小棒：

11÷5=2……1

4. 同桌互相說一說每個數(shù)表示的意義，提出疑問：

（1）為什么商是2，可以是3嗎？

（2）10是怎么算出來的，表示什么？

（3）1是怎么算出來的，表示什么？

（4）下面這兩個豎式對嗎？

5. 如果用15根小棒擺，可以擺幾個？先列橫式，再列豎式。這個豎式和剛才的有什么不一樣？“0”怎么算出來的，表示什么？

……

以教師報橫式、豎式的數(shù)字，學(xué)生指、說、圈圖形相應(yīng)的部位的形式，從情境中來到情境中去，促使學(xué)生理解橫豎式中各部分表示的意義，溝通了圖、數(shù)、義之間的聯(lián)系，溝通乘法和除法之間的聯(lián)系，溝通了整除和有余之間的聯(lián)系，溝通了學(xué)生操作經(jīng)驗和數(shù)學(xué)符號之間的聯(lián)系，使學(xué)生對除法豎式的每一步如何產(chǎn)生以及所表示的意義一清二楚，賦予了一個枯燥的數(shù)學(xué)豎式以現(xiàn)實意義。數(shù)字、圖形和意義完美結(jié)合，讓學(xué)生有話可說、有物可指、有圖可圈，就像是抽象的數(shù)字與意義之間架起了一座橋梁，促進了學(xué)生的樸素活動經(jīng)驗到數(shù)學(xué)形式化的跨越。

（作者單位：浙江省富陽市富春第二小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）