例說如何進行數學解題過程的反思
2012-04-29 00:00:00何志銜
中學課程輔導·教師教育(上、下) 2012年20期
摘 要：反思是數學解題中的最重要的環節，是提高解題能力的一條重要途徑。在解題中進行反思的方法有：對題意的理解過程進行反思；對解題的思路形成過程進行反思；對解題的表述進行反思。
關鍵詞：數學；反思；解題過程
中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）20-092-2
反思是指主動以嚴肅的態度持續不斷地、反復深入地對已有的結論、認識和觀念，以及它們形成過程進行周密、持續且有批判性的再思考，以求得新的、深入的認識，或提出疑問作為新的思考的起點。解題反思是對解題活動的反思，它是對解題活動的深層次思考，是進一步深化、整理和提高的過程。它是數學解題中的最重要的環節，是提高解題能力的一條重要途徑。在解題中進行反思的方法有：對題意的理解過程進行反思；對解題的思路形成過程進行反思；對解題的表述進行反思。
一、題意理解的反思
題意的理解就是從題目中獲取達到解題目標的信息，即明確條件是什么，結論是什么，分析條件與條件，條件與結論之間有什么聯系，并從中獲取從何處下手，向何方前進的信息。對題意的理解過程進行反思，就是在解題活動完成以后，對自己最初理解題意過程中是怎樣“獲取信息”進行再思考。比如獲得過哪些信息？遺漏過哪些信息？為什么會遺漏這些信息？題中哪些信息自己比較清楚？哪些信息自己還不清楚？為什么不清楚？對條件和結論之間的某些關系為什么不能發現？關系的轉化是否有錯誤？為什么會發生這些錯誤？以后在理解題意是應該怎么做？等等。不要小看對題意理解的反思，通過反思能使學生在理解題意方面尋找規律，從而積累更多的解題經驗，這也是元認知方面的訓練。
例1 定義在R上的函數f（x）既是奇函數，又是周期函數，T是它的一個正周期.若將方程f（x）=0在閉區間[-T，T]上的根的個數記為n，則n可能為（ ）.
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
思路分析：（1）從符合條件的特殊函數來觀察分析；（2）根據題設條件，將根一一找出。
解：解法1：根據題設條件不妨取f（x）=sinx，T=2π，sinx=0在閉區間[-2π，2π]上的根的個數是5個，從而選D.
解法2：∵f（x）為R上的奇函數，∴f（0）=0，又T為周期，故f（T）=f（-T）=0，又f（-T2）=-f（T2），f（-T2）=f（-T2+T）=f（T2），故f（T2）=f（-T2）=0，∴f（x）=0在閉區間[-T，T]上至少有5個根，選D.
學生思維受阻的表現：
（1）無法聯想f（x）=sinx是滿足題設條件的具體函數；
（2）f（x）=0是一個抽象方程，不是具體方程，不知如何求根；
（3）難以結合奇函數和周期函數兩個條件發現T2和-T2；
（4）題中問方程的根的個數“可能為”，學生有可能會聯想其他的情況，比如取f（x）=sinx，T=4π，發現根有9個根后不知怎么辦了。
對學生思維受阻原因的分析反思：
反思（1）學生在審題時不能將一般問題與特殊例子聯系起來，思維顯得呆板；
反思（2）題中未給出具體的解析式，方程也就虛無縹緲，這與常規的方程求解問題有一定的差距；
反思（3）從未考慮過由定義域為R上的奇函數推出f（0）=0，T2和-T2也需推理才能發現，學生推理能力不足也是思維受阻的原因之一；
反思（4）T有多個可能的值，題目的問法已經暗示，自己卻不知回頭看題。
二、思路形成的反思
解題思路的行程就是把題目中捕捉到的有關信息與從儲存機構中提取有關的信息結合起來，進行加工、重組與再生的過程。對思路形成的反思，就是在解題結束后回顧自己是如何對信息進行加工、重組與再生的。具體地說，就是回憶自己從解題開始到解題結束的每一步的思維活動。一開始是怎么探索的？選擇的是哪條途徑？走過哪些彎路？發生過什么錯誤？后來有沒有作出調節？作出了怎樣的調節？是什么原因使我做出這樣的調節？有沒有導致問題的徹底解決或對此起到很大的作用？我的思考與老師、同學的思考有什么不同？其中的差距在哪里？造成這樣的差距的主要原因是什么？解題的關鍵在哪里？自己在探索思路形成過程中有哪些成功與失敗的地方等等。長期堅持這樣的反思，就可以總結出帶有規律性的經驗，其中有些是解題的思想方法，有些是解題的策略，有些是解題的元認知知識，還有非認知方面的東西，他們都是今后解題的行動指南。另外這樣的反思有利于自己思維監控能力的提高，更是一種學習能力的培養。
例2 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的離心率為63，短軸的一個端點到右焦點的距離為3.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線與橢圓交與A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為32，求△AOB面積的最大值.
解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，依題意ca=62a=3解得b=1，所求的橢圓的方程為x23+y2=1.
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）
（1）當AB⊥x軸時，|AB|=3.
（2）當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m，由已知得|m|1+k2=32，得m2=34（k2+1）把y=kx+m代入橢圓方程消去y，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，有x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3（m2-1）3k2+1 |AB|2=（1+k2）（x1-x2）2=（1+k2）[36k2m2（3k2+1）2-12（m2-1）3k2+1]=12（k2+1）（3k2+1-m2）（3k2+1）2=3（k2+1）（9k2+1）（3k2+1）2=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6≤3+122×3+6=4 （k≠0）
當且僅當9k2=1k2，即k=±33時等號成立
當k=0時，|AB|=3
綜上所述|AB|max=2，當|AB|最大時，△AOB面積取最大值S=12|AB|max×32=32
反思（1） 求△AOB面積的最大值一定要轉化為求|AB|的最大值嗎？這是在反思第1、2步，將導致我們去尋找△AOB面積的更多表達式，但是這個表達式會是什么呢？
反思（2） 即使是求（x1-x2）2、（y1-y2）2及|AB|最大值，一定要用直線方程的斜截式嗎？這將導致我們去尋找直線方程的更多的表達式，但是哪個表達是恰當呢？
反思（3） 在求|AB|2的表達式時直接使用二次方程的根與系數的關系保險嗎？先計算判別式Δ=（6km）2-4（3k2+1）（3m2-3）=…=3（9k2+1）
然后求得 （x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=Δ（3k2+1）2=3（9k2+1）（3k2+1）2會增加計算量嗎？對|AB|2的表達式降次時，為什么要化為3+g（k）的形式？“結論也是已知信息”，得出f（k）=3+g（k）≤4之后，對f（k）的放大變形有什么新的啟示？
反思（4） 即使使用直線方程的斜截式求|AB|2的最大值時，斜率k一定要做分母嗎？對k的“兩個層面三種情況”討論是必不可少嗎？
反思（5） 將問題一般化。對一般化的橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）：坐標原點O到直線l的距離32應一般化為怎樣的表達式？而|AB|的最大值、△AOB面積的最大值又應一般化為怎樣的表達式？
這些反思，將把我們的認識引向深入。至于引向怎樣的深入，以后再談。
三、解題表述的反思
解題計劃的最后落實就是解題表述。初始的解題表述一般是比較粗糙的，有時還隱含錯漏，因此解答完題目后的一個任務就是要對解題的表述進行反思。反思運算是否正確，推理是否嚴密，有無漏洞？反思語言表述是否簡明、準確、嚴謹、完整？解答過程能否優化？哪些過程是多余的？哪些過程是可以合并的？哪些步驟是可以轉化的？等等，并對發現問題及時進行改正或糾正。
例3 在△ABC中，已知a+2b-2c+3=0，a2-a-2b-2c=0，求△ABC最大角的度數.
解：由已知有2b+2c=a2-a（1）
2c-2b=a+3（2）
求得b=（a+1）（a-3）4（3）
c=a2+34，b>0
∵b>0 ∴a>3 c-a=a2+34-a=（a+1）（a-3）4>0
∴c>a 又由（2）可知c>b
∴∠C最大
由余弦定理
cosC=a2+b2-c22ab=16a2+[（a+1）（a-3）]2-（a2+3）28a（a+1）（a-3）=（a+1）2（a-3）2-（a2-1）（a2-9）8a（a+1）（a-3）=-12
故最大的角C=23π
反思（1） “C=23π”已兼有判斷出“∠C最大”功能。因而那些僅為推出“∠C最大”的中間環節均可刪去，于是有如下的改進解法：
由已知得 b=（a+1）（a-3）4 c=a2+34
由余弦定理
cosC=a2+b2-c22ab=16a2+[（a+1）（a-3）]2-（a2+3）28a（a+1）（a-3）=（a+1）2（a-3）2-（a2-1）（a2-9）8a（a+1）（a-3）=-12
∵三角形內角和為π ∴最大的角C=23π
反思（2） 上述解法刪去了一些步驟，但解出b，c又消去，這說明解答過程還可以進一步簡化。事實上，由cosC=a2+b2-c22ab=a2+（b+c）（b-c）2ab （4）
把（1）、（2）、（3）式代入即可得到 cosC=-12
反思（3） 把已知兩式分拆為（1）、（2）、（3）式后又在（4）式中進行組合，這種“先拆后組”的步驟是必要的還是多余的呢？注意這時“結論也是已知信息”，
cosC=-12等價于c2=a2+b2+ab（5）
能否從已知兩式中直接推出（5）呢？
注意到已知兩式與（5）式的結構特點和次數差異，這一點是能辦到的。于是解法可作進一步改進：
由已知兩式得 （a+2b）-2c=-3
（a+2b）+2c=a2
兩式相乘有a2+b2-c2=-ab，即c2=a2+b2+ab，由余弦定理得C=23π，∠C就是△ABC的最大值.
