數理結合,五種方法求解斜面上拋體最遠距離

題：從傾角為θ的斜面上O點，以初速度V0 水平拋出一個小球，落至斜面B點。求：從拋出開始經多長時間小球離斜面的距離最大？最大距離是多大？

解法一：設小球拋出t秒后，當速度方向與斜面平行時，小球離斜面的距離達到最大，此時小球速度方向與初速度方向成θ角。根據“平拋運動任意時刻末速度的反向延長線經過水平位移的中點”，設圖中M點為末速度反向延長線與水平位移的交點，線段MN的長即為所求的最遠距離H。

解：當末速度方向與斜面平行時，物體離斜面距離最大

可得：

因為平拋運動中任意時刻末

速度的反向延長線經過水平位移的中點。

所以

由幾何關系可知最遠距離：

解法二：利用斜拋思想求解，將物體初速度v0、重力加速度g都分解成沿著斜面和垂直斜面方向的兩個分量。在垂直斜面方向上，物體做的是以v0y為初速度、gy為加速度的類豎直上拋運動。物體上升到頂端的時間等于它從拋出至離斜面最遠的運動時間。

可得：

物體在垂直于斜面方向“上升”

的最大高度

解法三：以拋出點O為坐標原點，建立

圖示水平豎直坐標系

斜面直線方程為

拋體軌跡方程為（下同）

拋物線上某點的導函數為該點處的切線斜率，當切線與斜面平行時，該點距斜面最遠

所以離斜面距離最遠的點為

利用點到直線距離公式可得：

解法四：設拋物線上某點距斜面最遠，其切線與斜面平行

可得：

拋物線上點的切線方程為：

可得切線方程：

與斜面的距離為：

解析五：拋物線上任意一點到直線的距離為：

點到直線

的最大距離為：

以上解法，各有所長，解法一、二突出了物理過程的理解與應用，其余解法展示了學生扎實的數學基本功，體現了數學知識在物理學習上的應用，起到了相輔相成的作用。

（作者單位：江蘇省姜堰市羅塘高級中學）