一道烏克蘭數學競賽題的再證
2012-04-29 00:00:00王兆臣
文理導航 2012年5期
2007年烏克蘭數學競賽題里有這樣一道三元代數不等式：
原題是：設a，b，c∈R+，且abc≥1，求證：(a+■)(b+■)(c+■)≥■。文[1]、文[2]分別給出了該題的簡證，讀后頗受啟發，經筆者研究，本題也可用曲線的切線方程給出另一簡證。
證明：設f(x)=x+■，x∈(0，+∞)，則f(1)=■，f'(x)=1-■
所以f'(1)=1-■=■，f(x)在x=1處的切線方程是：y=■(x-1)+■，即y=■(x-1)，易證f(x)≥■(x-1)，x∈(0，+∞)。當且僅當x=1時等號成立。
又因為■(x-1)>0成立，所以f(a)≥■(a+1)>0
f(b)≥■(b+1)>0
f(c)≥■(c+1)>0
所以f(a)f(b)f(c)≥■(a+1)■(b+1)■(c+1)，又因為
a+1≥2■，b+1≥2■，c+1≥2■
所以f(a)f(b)f(c)≥（■）３８■=■■，當且僅當a=b=c=1時等號成立。
又因為abc≥1，所以(a+■)(b+■)(c+■)≥■，當且僅當a=b=c=1時等號成立。
所以得證。
【參考文獻】
[1]鄒守文.一道2007烏克蘭競賽題的簡證.中學數學，2007，8
[2]鄧軍民.一道2007烏克蘭競賽題的再次簡證.福建中學數學，2010，1
（作者單位：安徽省五河一中）
