一個猜想不等式的證明加強和推廣

摘 要：本文對二十六個優美不等式中第八個猜想不等式給出它的證明，并對它作推廣和加強，最后給出猜想.

關鍵詞：猜想不等式；證明；加強；推廣；猜想

2011年1月安振平發表于《數學通報》上的《妙用抽屜原理證明不等式》二十六個優美不等式中第八個是一個猜想不等式.

原題：已知x，y是正實數，n≥2，n∈N，證明或否定：+≤1.

事實上，這個不等式是成立的，證明如下：

證明：+≤（m≥1）（*）

+≤

1-+1-≤

+≥

設A=+=+，由柯西不等式[mxy+y2+x2+mxy]+≥（y+x）2，所以A≥.

≥（m+1）（x+y）2≥2x2+2y2+4mxy（m-1）·x2+（m-1）y2-2（m-1）xy≥0（m-1）（x-y）2≥0，這是成立的，所以A≥，從而可知（*）成立.

由冪平均不等式可知n≤≤，故+≤，在不等式中，令m=2-1即得

+≤=1，所以原猜想不等式成立.

從證明過程知不等式+≤是原猜想不等式的加強. 這是一個二元的情形，筆者經過探索可將這一問題推廣到三元情形.

命題：若x，y，z∈R+，m≥1，n∈N*，則 ++≤.

下面先證引理.

引理：已知x，y，z∈R+，m≥1，證明：++≤.

證明：原引理不等式等價于++≤

1-+1-+1-≤

++≥

A=++≥，

[mx（y+z）+（y+z）2+my（x+z）+（x+z）2+mz（x+y）+（x+y）2]A≥（y+z+z+x+x+y）2，A≥=，

因為≥，

2（m+2）（x2+y2+z2）+（4m+8）（xy+yz+zx）≥6（x2+y2+z2）+（6m+6）（xy+yz+zx）

（m-1）（x2+y2+z2）≥（m-1）（xy+yz+zx）

x2+y2+z2≥xy+yz+zx，這是熟知的不等式，所以A≥，從而原引理不等式成立，且由證明過程可知當且僅當m=1或x=y=z時取“=”.

再通過冪平均不等式得

n≤≤，

所以++≤.

由此筆者給出一個更一般的猜想不等式.

猜想：若xi∈R+，i=1，2，3...k，m≥1，n∈N*，則

++…+≤.