巧用余弦定理證明三角形的布洛卡點的一個性質

摘 要：本文利用余弦定理證明：△ABC的布洛卡點P的一個性質cotθ=cotA+cotB+cotC，且當θ分別等于，，時△ABC的三邊a，b，c成等比關系.

關鍵詞：余弦定理；布洛卡點；性質

設P是△ABC內一點，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，則稱P是△ABC的布洛卡點，則cotθ=cotA+cotB+cotC.

圖1

分析：設三邊為a，b，c，PA，PB，PC分別為x，y，z，

可考慮利用正弦定理、余弦定理來表示出邊角關系，

進而證明等式.

證明：對三個小三角形分別使用余弦定理得：

y2=x2+c2-2xccosθ，

z2=y2+a2-2yacosθ，

x2=z2+b2-2zbcosθ，

三式相加得：2（ay+bz+cx）cosθ=a2+b2+c2.

又由正弦定理知，S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△PAC=（xc+ay+bz）sinθ，

兩式相除得：cotθ=. 又在△ABC中，由余弦定理有

a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2ab·cosC，相加得，a2+b2+c2=2abcosC+2bccosA+2accosB，

從而cotθ=++.

又4S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB，

分別代入上式右邊的三個分母即得：

cotθ=cotA+cotB+cotC.

注：當θ=時，△ABC的三邊b，a，c成等比數列

證明：由cotθ=cotA+cotB+cotC，及θ=可得：

cot-cotA=-=，

而cotB+cotC=+=，

所以=，所以sin2A=sinBsinC，即b，a，c成等比數列.

同理：當θ=時，△ABC的三邊a，b，c成等比數列；

當θ=時，△ABC的三邊a，c，b成等比數列.