冪平均與加權冪平均的一個關系

摘 要：將冪平均與加權冪平均的一個特殊關系，推廣到它們之間的更一般關系.

關鍵詞：冪平均；加權冪平均；關系

問題的緣由

有一定理，其定理內容如下：設正數序列a=（a1，a2，…，an），則m0（a）≤m0（a，a）.

并且此定理的證明過程實際上已將不等式m0（a）≤m0（a，a）加強為m1（a）≤m0（a，a）.

本文受此啟發，將上述不等式進一步推廣，得到下述結論.

本文的結論

設正數序列a=（a1，a2，…，an）， 則mr（a）≤mr-1（a，a）.

有關概念和命題

在證明此結論之前，本文給出以下幾個定義和定理：

定義1 設a=（a1，a2，…，an）為給定的正數列，該數列對于正權ω=（ω1，…，ωn）的r階的加權（冪）平均定義為

mr（a，ω）=，r≠0，r<+∞，（∏aiωi），r=0，amin=min（a1，…，an），r=-∞，amax=max（a1，…，an），r=+∞，

其中，Wn=ω1+…+ωn，∑=，∏ =.

定義2 設n是大于或等于2的正自然數，a=（a1，…，an）為給定的正數列，r∈R，則

mr（a）=a，r≠0，，r=0為a的r次冪平均.

？搖？搖從定義1、定義2可以看出，定義2實際上是定義1的一個特例，即在定義1中令ω1=ω2=…=ωn=1便得到了定義2.

此外，特別地，分別取r=1，2，-1，0時，便得到我們中學已經學過的n個正數a1，a2，…，an的算術平均（An），平方平均（Qn），調和平均（Hn），幾何平均（Gn）.

關于mr（a）和mr（a，ω）有如下性質：

定理1 mr（a）是r的單增函數.

定理2 mr（a，ω）是r的單增函數.

特別地，當ω=a=（a1，…，an）時，mr（a，a）也是r的單增函數.

本文結論的證明

（1）當r=1時，容易知道，m1（a）≤m0（a，a）.

（2）當r>1時，要證≤？搖，

只需證r-1≤r，

只需證≤，

即證m1（a）≤mr（a）成立. 因r>1，故m1（a）≤mr（a）顯然成立.

（3）當0

≤=，

類似（2）的證明過程，最后只要證mr（a）≤m1（a）即可，顯然成立.

（4）當r=0時，由于m0（a）=≤=m-1（a，a），故m0（a）≤m-1（a，a）.

（5）當r<0時，與（2）的證明過程類似，最后只要證mr（a）≤m1（a），顯然成立. 綜上可知，mr（a）≤mr-1（a，a）.

進一步的思考

利用本文的結論和定理2立刻得出：

mr（a）≤mr-1（a，a）≤mr（a，a）.

而其中mr（a）≤mr（a，a）則是問題緣由中給出的定理的推廣.