二次等冪式求解初探

摘 要：本文考察了等冪式的歷史研究過程及二次等冪式的已有結論，探討了丟番圖發現的勾股定理的完全解公式，初步得到一種二次等冪式求解方法——升冪平方法.

關鍵詞：勾股數組；二次等冪式；升冪平方法

中國早在《周髀算經》中就記載了勾股數組等式：32+42=52，瑞士數學家歐拉在試圖證明費馬大定理時發現了等式：33+43+53=63，遺憾的是，這種連續自然數組成的等冪式不能推廣，因此只能算是巧合.1900年伊斯特提出猜想：滿足nk+（n+1）k+…+（n+k-1）k=（n+k）k的等式僅此兩組，該猜想至今未獲證明. 歐拉也曾提出一個類似的猜想：n-1個數的n次方之和不可能等于另一個數的n次方. 但是歐拉的結論錯了，不過反例確實難找，直至1966年美國數學家用計算機找到等式：275+845+1105+1335=1445. 等冪式a=b（ai，bj∈Ν*）現已成為數學的研究對象之一，數學家也挖掘出許多令人稱奇的等冪式.

在這些奇妙的數字等式中，形如a=b的式子叫做二次等冪式. 二次冪等式中，首推“勾股弦數”等式a2=b2+c2. 古希臘大數學家丟番圖發現了勾股數組的完全解是：a=p2–q2，b=2pq，c=p2+q2，其中p，q（p>q）為一奇一偶且互質的任意正整數.

比較（x1+x2）2=（x1–x2）2+4x1x2 ①與（p2+q2）2=（p2–q2）2+4p2q2 ②，不難發現，完全平方公式①中，只需升冪交叉項中的x1，x2，即令x1=p2，x2=q2，就可使交叉項4x1x2升冪為完全平方數（2pq）2，從而得到二次等冪式②的一種求解方法——升冪平方法.

形如a2=Σb的二次等冪式的求解

考察（x1+x2）2=x+x+2x1x2，可令x1=k，x2=2k，則有（k+2k）2=（k）2+（2k）2+（2k1k2）3，于是（k+2k），k，2k，2k1k2即為a2=b+b+b的一組解. 例如取k1=1，k2=2，有92=12+82+42.

考察（x1+x2+x3）2=（x1+x2）2+ x+2x1x3+2x2x3，可令x1=k，x2=k，x3=2k，則可得（k+k+2k）2=（k+k）2+（2k）3+（2k1k3）2+（2k2k3）2，于是（k+k+2k），（k+k），2k，2k1k3，2k2k3即為a2=b+b+b+b的一組解. 例如取k1=3，k2=2，k3=1，有152=132+22+62+42.

歸納可得（k+k+…+k+2k），（k+k+ …+k），2k，2k1kn-1，2k2kn-1，…，2kn-2kn-1是a2=b+b…+b的一組解. 值得注意的是，這組解并非a2=b+b+…+b的完全解. 舉例說明，（x1+x2+x3+x4+x5）2=（x1+x2+x3+x4）2+x+2x1x5+2x2x5+2x3x5+2x4x5，升冪后可得a2=b+b+…+b的一組解，而（x1+x2+x3+x4）2=（x1+x2）2+（x3+x4）2+2x1x3+2x1x4+2x2x3+2x2x4經過升冪可得二次等冪式a2=b+b+…+b的另一組解，這兩組解不完全等價.

形如Σa=Σb的二次等冪式的求解

考察（x1-y1）2=x+y-2x1y，即（x1-y1）2+2xy=x+y，可令x1=2k，y1=t，則可得（2k-t）2+（2k1t1）2=（2k）2+（t）2，于是（2k-t），2k1t1和2k，t即為a+a=b+b的一組解. 例如取k1=2，t1=3，有12+122=82+92.

考察（x1+x2-y1）2=x+（x–y）2+2xx-2xy，即（x1+x2-y1）2+2x1y1=x+（x2-y1）2+2x1x2，可令x1=2k，x2=k，y1=t，則有（2k+k-t）2+（2k1t1）2=（2k）2+（k-t）2+（2k1k2）2，于是（2k+k-t），2k1t1和2k，（k-t），2k1k2即為a+a=b+b+b的一組解. 例如取k1=1，k2=3，t1=2，有72+42=22+52+62.

考察（x1+x2-y1-y2）2=x+（x2-y1-y2）2+2x1x2-2x1y1-2x1y2，即（x1+x2-y1-y2）2+2x1y1+2x1y2=x+（x2-y1-y2）2+2x1x2，可令x1=2k，x2=k，y1=t，y2=t，則有（2k+k-t-t）2+（2k1t1）2+（2k1t2）2=（2k）2+（k-t-t）2+（2k1k2）2，于是（2k+k-t-t），2k1t1，2k1t2和2k，（k-t-t），2k1k2即為a+a+a=b+b+b的一組解. 例如取k1=1，k2=4，t1=3，t2=2，有52+62+42=22+32+82.

以此類推，（x1+x2+…+xn-1-y1-y2-…-ym-1）2=x+（x2+…+xn-1-y1-y2-…-ym-1）2+2x1x2+2x1x3+…+2x1xn-1-2x1y1-2x1y2-…-2x1ym-1.

即（x1+x2+…+xn-1-y1-y2-…-ym-1）2+2x1y1+2x1y2+…+2x1ym-1（共m項）

=x+（x2+…+xn-1-y1-y2-…-yk-1）2+2x1x2+…+2x1xn-1（共n項）.

令x1=2k，x2=k，…，xn-1=k，y1=t，y2=t，…，ym-1=t，則（2k+k+…+k-t-t-…-t）2+（2k1t1）2+（2k1t2）2+…+（2k1tm-1）2=（2k）2+（ k+…+ k-t-t-…-t）2+（2k1k2）2+…+（2k1kn-1）2，于是得（2k+k+…+k-t-t-…-t），2k1t1，2k1t2，…，2k1tm-1和2k，（k+…+k-t-t-…-t），2k1k2，…，2k1kn-1即為a=b的一組解.

一些結論

（1）對完全平方式（x1+x2+…+xn-1-y1-y2-…-ym-1）2展開變形，利用升冪平方法，可得二次等冪式a=b的一組解為（2k+k+…+k-t-t-…-t），2k1t1，2k1t2，…，2k1tm-1以及2k，（k+…+k-t-t-…-t），2k1k2，…，2k1kn-1.

（2）利用升冪法求出的這組解，僅是二次等冪式的一組解，并非二次等冪式的完全解.

（3）解中（2k+k+…+k-t-t-…–t）或（k+…+k-t-t-…-t）若為負，則取其相反數.

（4）解中k1，k2，…，kn-1，t1，t2，…，tm-1的取值可作調整，從而這組解的取值應有無數個且可確?；ゲ幌嗟?

（5）不論m與n取何值，二次等冪式a= b作為不定方程，總有解且有無窮多解.