梯形性質(zhì)的推廣及其應(yīng)用

摘 要：什么是梯形性質(zhì)的推廣和它的4個(gè)推論（逆命題），以及這些推論的應(yīng)用？本文對(duì)此做了探討. 通過(guò)探討，能開闊學(xué)生的視野，以訓(xùn)練學(xué)生的聯(lián)想能力與數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)與創(chuàng)新精神.

關(guān)鍵詞：梯形性質(zhì)；逆命題；線段平行；線段相等

教材中一個(gè)習(xí)題的“來(lái)龍去脈”必須深入鉆研教材才能發(fā)現(xiàn)，如梯形性質(zhì)是眾所周知的，但梯形性質(zhì)的推廣我們卻知之甚少，它的應(yīng)用更是不得而知，本文想從選修4-1，一道習(xí)題的鉆研，得出一系列性質(zhì)，再應(yīng)用，以開闊學(xué)生的視野，訓(xùn)練學(xué)生的聯(lián)想能力與數(shù)學(xué)思維.

梯形性質(zhì)的推廣

例1 如圖1，在△ABC中，作平行于BC的直線交AB于D，交AC于E，如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，AO的延長(zhǎng)線和BC相交于G，

證明：（1）=；（2）BG=GC.

圖1

（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修4-1第9頁(yè)習(xí)題1.2的第2題.）

證明：過(guò)B作BH∥DC交AO的延長(zhǎng)線于H，連結(jié)HC，由DE∥BC，BH∥DC推出==？圯OB//CH？圯OBHC是平行四邊形，推出BG=GC，同理推出DF=FE. 最后得出==1；BG=GC.

梯形推廣性質(zhì)的兩個(gè)推論

通過(guò)例1我們總結(jié)出梯形性質(zhì)的推廣：“梯形的兩腰延長(zhǎng)線的交點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線平分上下底”. 這個(gè)梯形性質(zhì)的推廣有什么用途呢？用來(lái)證線段相等和證明兩個(gè)比例式相等且為1.

例1反映的定理：“梯形的兩腰延長(zhǎng)線的交點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線平分上下底”. 將此定理剖析成兩條件與兩結(jié)論：①梯形兩腰的延長(zhǎng)線相交于A點(diǎn)，②梯形兩對(duì)角線相交于O點(diǎn)，則有①AO平分上底（即DF=FE）；②AO平分下底（即BG=GC）. 任意交換命題（例1）的一個(gè)條件與一個(gè)結(jié)論，可得4個(gè)逆命題，這4個(gè)逆命題都是正確的.

逆命題1：若梯形兩腰的延長(zhǎng)線相交于A點(diǎn)，此交點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)O的連線若平分下底，則此連線必平分上底.

逆命題2：若梯形兩腰的延長(zhǎng)線相交于A點(diǎn)，此交點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)O的連線若平分上底，則此線必平分下底.

逆命題3：若梯形兩腰的延長(zhǎng)線相交于A點(diǎn)，若連線AO平分下底和上底，則兩對(duì)角線必交于O.

逆命題4： 若梯形兩對(duì)角線相交于O點(diǎn)，若線AO平分上底與下底，則兩腰的延長(zhǎng)線必交于A.

梯形性質(zhì)的推廣的應(yīng)用

1. 證兩條線段相等

例2 如圖2，△ABC是圓的外切三角形，切點(diǎn)為D，E，F(xiàn)，過(guò)D作BC的平行線交EA，EF于G和H，求證：DG=GH.

證明：過(guò)A作MN∥DH交DE，EF的延長(zhǎng)線于N和M，則DHMN是梯形，由三角形的內(nèi)切圓可知∠1=∠EFC=∠3=∠AMF，所以AF=AM，同理可得AN=AD.因?yàn)锳F=AD，所以AM=AN， 由逆命題1可知DG=GH.

例3 如圖3，AB是⊙O的直徑，PA是切線，割線PCD交⊙O于C和D，連接BC，BD，分別交直線PO于E和F，求證：EO=OF.

圖3

分析：欲證EO=OF. 可用梯形ECGF的推廣性質(zhì)的推論1，過(guò)C作CG∥EF，交AB于M，交BD于G，顯然梯形ECGF中，要證MC=MG困難一些.注意BA與CG相交于M.

證明：取CD的中點(diǎn)為N，連結(jié)NO，MN，NA，可知ON⊥CD. 又因?yàn)镻A⊥AB，所以P，A，N，O四點(diǎn)共圓，所以∠OAN=∠OPN=∠MCN. 又有M，C，A，N四點(diǎn)共圓，推出∠MNC=∠MAC=∠BDC， 所以MN∥GD. 又因?yàn)镃N=ND，CM=MG，由梯形推廣性質(zhì)的推論1知：EO=OF.

2. 證線段平行

例4 設(shè)E、F分別是平行四邊形ABCD內(nèi)、外一點(diǎn)，AF，BE相交于G，CE，DF相交于H，且EF∥AB，又GP=PH，求證：（1）GH∥BC；（2）ZS=SX.

圖5

證明：（1）因?yàn)镋F∥AB，所以△ABG～△FEG？圯=. 又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，EF∥AB∥CD，所以△CDH～△EFH？圯=. 因?yàn)镃D=AB，所以=？圯GH∥BC.

（2）因?yàn)锳BCD是平行四邊形，已證GH∥BC，GBCH是梯形，GP=PH. 由推論的逆命題1知ZS=SX.

3. 證比例中項(xiàng)

例5 如圖6，在△ABC中∠A=90°，AD⊥BC，M是AD的中點(diǎn)，BM交AC于P， 過(guò)P作PQ⊥BC，Q是垂足，求證：PQ2=PA×PC.

證明：為了構(gòu)造梯形性質(zhì)推廣的推論，必須延長(zhǎng)QP與BA的延長(zhǎng)線交于H點(diǎn)，由垂直第三直線的兩直線平行有AD∥HQ，可知ADQH是梯形. 又知M是上底AD之中點(diǎn)，由推論逆命題2知PQ=PH并且∠HAP=∠PQC=90°，A，Q，C，H四點(diǎn)共圓，PQ·PH=PA·PC，上面已證PQ=PH，故PQ2=PA×PC.

表面上看是在證明比例中項(xiàng)，實(shí)際上是在用梯形性質(zhì)的推論（逆命題2）和四點(diǎn)共圓來(lái)證明比例中項(xiàng).

4. 證明三條線段相等

例6 如圖7，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC和CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE，AF，交BD于G，H，求證：BG=GH=HD.

分析：可用梯形性質(zhì)的推論（逆命題1）證BG=GH=HD.創(chuàng)造條件證明BMFH和GEND是梯形， 且ME=EF=FN，這又必須證明三角形全等，△BEM≌△CEF≌△DNF， 這只要連結(jié)直線EF交AB、AD的延長(zhǎng)線于M和N， 由對(duì)頂角相等、中點(diǎn)定義、兩直線平行， 則內(nèi)錯(cuò)角相等三條件用（角邊角）定理，可得上述三個(gè)三角形全等.

綜上所述，一道課本練習(xí)題，要挖掘其功能，除了要掌握“梯形的兩腰延長(zhǎng)線的交點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線平分上、下底”之外， 還要掌握其4個(gè)正確的逆命題，它們?cè)谧C明線段相等的功能是強(qiáng)大的，也是有技巧的. 課本上的一道習(xí)題，若能對(duì)它進(jìn)行“舉一反三”、細(xì)致的、認(rèn)真的、完整的、全方位的思考，并找出它們的4個(gè)方面的應(yīng)用，就能徹底掌握梯形性質(zhì)的推廣. 通過(guò)這樣的訓(xùn)練能提高學(xué)生的觀察能力、注意能力、想象能力、記憶能力和思維能力.