詮釋初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)性質(zhì)和圖象特征的運用

摘 要：初中數(shù)學(xué)教學(xué)中二次函數(shù)問題是綜合性最強的教學(xué)內(nèi)容，高度融合代數(shù)、幾何的主要內(nèi)容. 本文從教學(xué)實際與中考命題內(nèi)容分析以及初中數(shù)學(xué)學(xué)情出發(fā)，論述了二次函數(shù)性質(zhì)和圖象特征的運用的三個著手點：對稱性、等面積、取值范圍，有利于數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)針對性教學(xué)的開展.

關(guān)鍵詞：函數(shù)性質(zhì)；圖象特征；對稱；等面積問題？搖

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，在中考命題中廣受青睞，是因為涉及二次函數(shù)的問題往往融初中代數(shù)、幾何的主要內(nèi)容于一體，在解決問題的過程中體現(xiàn)出對動靜結(jié)合、數(shù)形結(jié)合、對稱與非對稱、極端特殊與一般化、歸一等數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟程度. 本文從教學(xué)實際與中考命題內(nèi)容分析以及初中數(shù)學(xué)學(xué)情出發(fā)，從對稱性、等面積、取值范圍三個方面論述二次函數(shù)性質(zhì)和圖象特征的運用.

正確運用拋物線的對稱性可深挖題目隱含的解題條件

問題1 如圖1，以點C（1，1）為圓心，半徑為2作圓，交x軸于A，B兩點，拋物線開口向下過點A，B，其頂點D在⊙C上. 求∠ACB的大小并確定此拋物線的解析式.

圖1

此問題中，A，B兩點的坐標(biāo)易求，但是，求解D點坐標(biāo)必須注意到圓和拋物線在此題條件中都是左右對稱圖形且對稱軸重合，故而DC垂直于x軸，進而求出D點坐標(biāo)，最終求出拋物線的解析式.

問題2 如圖2，已知拋物線y=x2-x-，AB為圓的直徑，圓與拋物線交于A，D，B，圓與拋物線對稱軸交于點E，點P為線段AB上動點（P與A，B兩點不重合），PM⊥AE于M，過線段EP上的點S作FG⊥EP ，F(xiàn)G分別交AE、BE于點F、G（F與A、E不重合，G與E、B不重合），證明=.

圖2

在尋求思路時，學(xué)生很容易聯(lián)想到=，問題是如何轉(zhuǎn)化為，但此題中，拋物線的對稱軸與圓的對稱軸重合，這就為對稱性的運用提供了契機. △EAB為等腰直角三角形，△MAP為等腰直角三角形，MA=MP，而五點E、F、M、P、S則構(gòu)成學(xué)生最熟悉的相似圖形，并能很快識別出∠EFS=∠EPM，最終由△GEF∽△MEP證明=，原命題也隨即得證. 在這一系列的證明步驟中，由拋物線的對稱軸與圓的對稱軸重合運用對稱性，增添原題中沒有的條件：△EAB，△MAP均為等腰直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

涉及二次函數(shù)的等面積問題，往往要注意運用以下兩個常見技巧：

1. 運用平行線造就同底等高的三角形等積

問題3 如圖3點A坐標(biāo)（2，4），直線x=2交x軸于點B，拋物線y=x2從點O沿OA方向平移，交x=2于點P，頂點M（m，n）到達A點時停止移動.當(dāng)m為何值時，線段PB最短？此時相應(yīng)的拋物線上是否存在點Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等，若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖3

此題中第一問可以先由A點坐標(biāo)和坐標(biāo)原點求出直線OA的解析式，進而用m表示出n，進而求出拋物線y=x2平移到M點后的新坐標(biāo)式，再令新坐標(biāo)式中x=2，求出P點縱坐標(biāo)的表達式（含有m），視為m的函數(shù)，m∈[0，2]時，求出何時PB最短；難點是在第二問，在解決第二問之前，必須定性判斷出若Q點存在，那么如何首先以幾何方式尋找出Q點的位置，并根據(jù)幾何特征采用相應(yīng)的推理或計算步驟？如圖示，可以將直線PA左右平移，假設(shè)平移后與拋物線的交點為D且D、M與直線x=2水平距離相等，那么△DAP與△MAP同底（底為AP）等高，必然等積，所以D點即所求之一；同理，可以將直線AM平移，設(shè)平移后與拋物線交于E且E點與P點到AM等距，則△EAM與△PAM同底等高（底為AM）等積，E點也為所求；又或同理，可以將直線MP平移，設(shè)平移后與拋物線交于F且F點與A點到AM等距，則F點還為所求. 一旦尋求到解決的思路，則問題迎刃而解.

（2）充分運用雙曲線上的動點及其在坐標(biāo)軸上的投影、坐標(biāo)原點三點組成的三角形定積

雙曲線與二次函數(shù)結(jié)合的問題在近年中考中屢見不鮮，充分運用雙曲線y=（a>0）上的動點及其在坐標(biāo)軸上的投影、坐標(biāo)原點三點組成的三角形定積，這個定積就是雙曲線對應(yīng)的反比例函數(shù)解析式中的定值的一半，在一些問題中成為解決難點的關(guān)鍵.

問題4 如圖4，已知拋物線y=ax2+b與雙曲線交于C點，連接CO，動點P從O點出發(fā)，沿OA向A點移動，作PM交拋物線的對稱軸于M點，已知△OMP的面積S與P點的坐標(biāo)x關(guān)系為S=4x2，當(dāng)△OMP與△OMC全等時，S=16， 且此時DM為OD的，試求拋物線的解析式.

圖4

此問題中，關(guān)鍵在于△OMP與△OMC全等時，△OMC的面積恰好為C點縱、橫坐標(biāo)之積的一半，而C點位于雙曲線上，C點縱橫坐標(biāo)之積的一半為定值k. S=4x2表明縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)的8倍，于是此題中立即可得C點坐標(biāo)，同時求得M點縱坐標(biāo)，再由DM為OD的，求出D點坐標(biāo)，最終代入y=ax2+b，求出解析式.

對于二次函數(shù)求最大或最小值的問題，特別要注意橫坐標(biāo)的取值范圍

對于二次函數(shù)求極值的問題，大多數(shù)學(xué)生通常是由x=-，y=求出y的最大或最小值，但這種方法只有在x的取值為任意實數(shù)時才能保證是正確的；當(dāng)x的取值在指定范圍時，首先要看頂點在不在此范圍內(nèi)，若在，頂點值就為最大（或最小），再和x最小或最大時的y進行比較，進而確定出y最小（或最大值）；若不在，直接將x最小或最大時的y進行比較，進而確定出y最小和最大值，必要時，對于函數(shù)式進行變形再討論.

問題5 如圖5，某公司生產(chǎn)的甲類產(chǎn)品利潤與件數(shù)的關(guān)系為y=28x，乙類產(chǎn)品利潤與件數(shù)的關(guān)系為y=2x2-16x+35，在保證總是甲類產(chǎn)品利潤高的情況下，乙類產(chǎn)品的最大利潤和最小利潤分別是多少以及兩類產(chǎn)品的利潤差在何范圍？

圖5

處理第一問時，“保證總是甲類產(chǎn)品利潤高”其實就是限定了x的取值范圍必須保證拋物線的圖象位于直線的下方. 這樣，必須由y=28x，y=2x2-16x+35解出它們的交點坐標(biāo)，得出x的取值范圍，易得拋物線的頂點縱坐標(biāo)即為所求最小值，而右邊交點的縱坐標(biāo)為所求最大值；但在解決第二問時，是在已經(jīng)求出的x的取值范圍中，計算一個新的函數(shù)y=28x-（2x2-16x+35），必須對此函數(shù)求出其頂點坐標(biāo)，看這個新函數(shù)的頂點坐標(biāo)是否在第一問中已經(jīng)求出的x的取值范圍中，然后計算其最大、最小值，尤為值得注意的是盡管二次項系數(shù)為負(fù)，頂點值未必是最大值.

總之，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用需要針對不同的條件靈活選擇解題的途徑，需要在通法之中注意特例，注意題中的“陷阱”與隱含條件.