構造一元二次方程 研究幾何競賽問題

摘 要：構造一元二次方程解題，通常有三種方法；（1）利用根的定義；（2）利用韋達定理；（3）利用根的判別式，而應用較多的是第二種方法，現就第二種方法在證明高中幾何競賽題中的應用舉例說明如下.

關鍵詞：構造；方程；研究；競賽

例1 （2008年全國高中數學聯賽吉林省預選賽試題）已知⊙O外接于正方形ABCD，P為AD上的任意一點，求證：

（1）■為定值；

（2）PA·PC = PB2-AB2.

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圖1

證明：如圖1，由題設知∠APB=∠BPC=45°，所以在△APB和△BPC中，應用余弦定理得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos45°，BC2=PB2+PC2-2PB·PCcos45°，即PA2-■·PB·PA+PB2-AB2=0，PC2-■PB·PC+PB2-AB2=0（因為BC=AB），所以PA，PC是方程x2-■PB·x+PB2-AB2=0的兩個根，故由韋達定理得

（1）PA+PC=■PB，所以■=■為定值.

（2）PA·PC=PB2-AB2.

注：本題可通過證明相似三角形求解，不過難度很大，但通過在兩個三角形中應用余弦定理寫出關系式，再結合韋達定理求得兩根之積和兩根之和，從而可以簡潔明快地求得結果. 此法不僅新穎巧妙，而且符合新課程改革“關于……讓學生的思維活躍起來”的理念要求，利于提高學生的專題總結水平，利于學生在總結的過程中開闊思路，鞏固所學內容，提高學習和研究專題講座的水平.

例2 （2005年吉林省吉林市高中數學競賽題）設△ABC的三邊為a，b，c，求證：若∠A=2∠B，則a2=b（b+c）.

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圖2

證明：如圖2，以C為圓心，以CA=b為半徑作弧交AB于點A′，則有CA=CA′=A′B=b，所以在△ABC和△A′BC中，應用余弦定理得AB2-2a·AB·cosB+a2-b2=0，A′B2-2a·A′B·cosB+a2-b2=0，所以AB，A′B是方程x2-2acosB·x+a2-b2=0的兩個根，故由韋達定理得AB·A′B=a2-b2. 因為AB=c，A′B=b，所以bc=a2-b2，即a2=b（b+c）.

注：本題先作輔助圓，再在兩個有關的三角形中應用余弦定理寫出關系式，推出b，c是某一個一元二次方程的兩個根，然后結合韋達定理求出b，c之積，使問題得到證明.

例3 （2008年南昌市高中數學競賽題）正三角形ABC的兩邊AB，AC的中點分別為M，N，直線MN與這個三角形的外接圓的一個交點是P，求證：■+■=3.

證明：如圖3，設正△ABC的邊長為a，則在△PBC中，應用余弦定理得：

a2=PB2+PC2-2PB·PC·cos60°=PB2+PC2-PB·PC. ①

又MN∥BC，MN是△ABC的中位線，所以S△PBC=■S△ABC，所以■·PB·PCsin60°=■a2sin60°，所以PB·PC=■a2. ② （1）-（2）×2，得PB2-3PB·PC+PC2=0. ③

因為PB≠0，PC≠0，所以在③式兩邊分別除以PB2·PC2，得

■2-3■+1=0. ④

■2-3■+1=0. ⑤

所以由④⑤可知，■，■是方程x2-3x+1=0的兩個根，故由韋達定理得

■+■=3.

注：本題難度大，證明困難.但運用余弦定理先寫出關系式①，然后聯系三角形面積公式及中位線定理寫出關系式②，再通過變形化簡推出④⑤，結合方程根的定義和韋達定理求得■，■的兩根之和即可，方法創新，對于培養學生探索精神和創新意識，將會起到積極的作用.

例4 （1996年全國高中數學競賽預選賽試題）設AP是△ABC的一條角平分線，求證：AP2=AB·AC-PB·PC（斯古登（schoden）定理）

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圖4

證明：如圖4，過A，G，P作圓交AB于D，因為AP是∠BAC的平分線，所以弧PC=弧PD，所以PC=PD，所以2S△ABC=AB·ACsinA. 又因為∠A=∠BPD，所以2S△DPB=BP·PDsin∠BPD=BP·PCsinA，故在△APD，△APC中，應用余弦定理，得AD2-2AP·ADcos■+AP2-PD2=0，AC2-2AP·ACcos■+AP2-PD2=0（因為PD=PC），所以AD，AC是x2-2APcos■·x+AP2-PC2=0的兩個根，故由韋達定理得AD·AC=AP2-PC2，即AD·AC+PC·PD=AP2，所以2S△DPC=（AD·AC+PD·PC）sinA=AP2sinA，所以AB·ACsinA-BP·PCsinA=AP2sinA（因為PC=PD），所以AP2=AB·AC-BP·PC.

注：本題先構造圓，根據題設寫出有關關系式，而后在兩個三角形中，應用余弦定理寫出兩個關系式，根據方程根的定義構造出關于AD，AC為根的一元二次方程，最后運用韋達定理寫出AD·AC的關系式，結合構造圓得到的關系式，經過三角代數運算得到證明，此法有利于提高學生數學思維的能力.

例5 已知P是正△ABC外接圓劣弧BC上的一點，求證：

（1）PB+PC=PA（1975年美國紐約中學數學競賽題）

（2）PA2=AB2+PB·PC（2007年河北省邢臺市高中數學競賽題）

（3）PA2+PB2+PC2為定值. （1989年30屆IMO預選題特例）

證明：如圖5，設正△ABC的邊長為a，則在△PAB和△PAC中，應用余弦定理得a2=PB2+PA2-2PA·PBcos∠APB，a2=PC2+PA2-2PA·PCcos∠APC.

因為∠APB=∠APC=60°，所以PB2-PA·PB+PA2-a2=0，PC2-PA·PC+PA2-a2=0，故PB，PC是方程x2-PAx+PA2-a2=0的兩個根，所以由韋達定理得

（1）PB+PC=PA；

（2）PB·PC=PA2-a2，即PA2=AB2+PB·PC；

（3）PA2+PB2+PC2=PA2+（PB+PC）2-2PB·PC=PA2+PA2-2（PA2-AB2）=2AB2（為定值.）

注：本題是一幾何題組問題，通過余弦定理和根的定義構造出一元二次方程，再結合韋達定理巧妙證明，方法非常新穎.

綜上所述可見，在平時的教學過程中，引導學生適當進行一些專題內容的探索與研究，對于幫助學生理解課本內容，提高解證題水平，啟迪思維，拓寬視野，對于在理性思維中培養和發展學生的思維能力，均頗有益處. 解題關鍵在于應用余弦定理、方程根的定義和韋達定理，結合三角代數、幾何知識得證.