對一道向量題的研究

摘 要：在學習平面向量知識中，筆者接觸一類典型問題，學生面對該題，思路多樣、分散卻又不夠精練，本文對該題型進行了研究，以便更好地指導學生的學習.

關鍵詞：平面向量；試題研究；高中數學

新課改中，蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修4中的第二章《平面向量》，引進了平面向量知識，向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具. 通過本章的學習，學生不僅可以掌握一種全新的數學工具，而且可以幫助學生體會數學的內部聯系，數學與實際生活的聯系，以及數學在解決實際問題中的作用，培養學生的理性思維的能力、運算能力和解決實際問題的能力.

原題：O是△ABC內一點，滿足+2+4=0，求△AOB、△BOC、△AOC的面積之比.

【分析】 此問題可以分為兩類：解答題和填空題，分別采取不同的解題策略.

題型為解答題時，我們要有嚴密的論證，寫出詳細的解答過程

1. 運用向量加減法的平行四邊形法則解題

【分析】 充分運用平行四邊形法則，構造滿足題意的三角形，尋找面積關系.

【方法1】 因為+2+4=0，所以=2+4，在平面內任取一點O，構造向量，，作向量=2，=4，根據向量加法的平行四邊形法則，=+，如圖（1）：所以有=. 順次連接點A，B，C，構成△ABC，如圖2，所以S△AOB=S△BOF=S△DOF，S△BOC=S△DOE=S△DOF，S△AOC=S△COF=S△EOF=S△DOF. 所以S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=∶∶=4∶1∶2.

運用三角形重心的向量性質解題

【分析】 題中所給條件“+2+4=0”，與三角形的重心有著緊密的聯系，這就提示我們嘗試構造合適的三角形以及它的重心，結合三角形重心的向量性質來解決問題.

【方法2】 如圖3，作任意△AB′C′，取三角形三邊中線的交點即△AB′C′的重心O，在OB′，OC′上分別取B點、C點，使得向量=，=. 因為O點為△AB′C′的重心，所以有++=0. 又因為=2，=4，所以+2+4=0，在△AB′C′中，S△AOB′=S△AB′E=·S△AB′C′=S△AB′C′，同理S△AOC′=S△B′OC′=S△AOB′=S△AB′C′. 又S△AOB=S△AOB′=S△AB′C′=S△AB′C′，S△BOC=S△B′OC′=S△AB′C′=S△AB′C′，S△AOC=S△AOC′=S△AB′C′=S△AB′C′，S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=∶∶=4∶1∶2.

題型為填空題時，我們只需要準確快速地求出答案

1. 建立直角坐標系，將，作為基底，特殊化處理.

【分析】 當題中所涉及向量額外滿足一些特殊關系時，結論依然成立，將問題特殊化，快速求解，這是我們解決填空題、選擇題這些客觀題時常用的方法.

【方法3】 如圖5構造向量⊥，并且==1，以向量，為基底建立如圖所示的直角坐標系xOy，所以B，C坐標分別為（1，0），（0，1）. 因為+2+4=0，所以=2+4，作向量=2，=4，根據向量加法的平行四邊形法則，=+，所以=，確定A點坐標為（-2，-4），順次連接點A，B，C，得到△ABC，如圖6. 所以，S△AOB=×1×4=2，S△BOC=×1×1=，S△AOC=×1×2=1，S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=2∶∶1=4∶1∶2.

2. 猜想：題干中三向量之比為1∶2∶4，面積之比為4∶2∶1，引發猜想：“題干中三向量的比例關系，是否決定了△AOB、△AOC、△BOC面積的比例關系？”

繼續研究

【方法3】 如圖6，S△AOB=××=×1×=×1×4=×1×4，此處的4即為題干中向量前的系數，同理可得，S△BOC=×1×1，此處的1即為題干中向量前的系數，S△AOC=×1×2，此處的2即為題干中向量前的系數. 是否有一般結論“O是△ABC內一點，滿足a+b+c=0（a>0，b>0，c>0），則有S△AOB∶S△AOC∶SBAOC=c∶b∶a”？（注：條件“a>0，b>0，c>0”是為了保證條件“O是△ABC內一點”，這里不再展開討論.）

以下進行進一步的研究：

3. 證明：O是△ABC內一點，滿足a+b+c=0（a>0，b>0，c>0），則有S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=c∶b∶a.

解：因為a+b+c=0，

所以a=b+c=b（+）+c（+），所以（a+b+c）=b+c，

所以=+.

在三角形的邊AB，AC上取點D，E，

如圖7，所以有：=，=， 則四邊形ADOE是平行四邊形.

圖7

所以：S△AOB=S△AEB=S△ABC，S△AOC=S△ADC=S△ABC，S△BOC=S△ABC-S△AOB-S△AOC=1--S△ABC=S△ABC，S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=∶∶=c∶b∶a，此題得證.

4. 利用結論“O是△ABC內一點，滿足a+b+c=0（a>0，b>0，c>0），則有S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=c∶b∶a”直接求出答案.

【分析】 注意上述結論中的規律，建立選擇正確的比例系數.

【方法4】 因為+2+4=0，所以S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=4∶2∶1.

以上是我們在《平面向量》這一章教學中針對一類典型問題的粗淺研究，不當之處，請多指正.