恒成立，能成立，恰成立

摘 要：證不等式的恒成立、能成立與恰成立求參數范圍問題是一種常見的題型，也是高考的熱點之一. 這三類問題既有區別又有聯系，在教學過程中很多學生容易混淆，它們的意義和轉化方法是不同的. 本文結合實例來辨析這三種問題的區別和聯系.

關鍵詞：不等式；恒成立；能成立；恰成立；辨析

不等式恒成立、能成立、恰成立時求參數范圍的問題既有區別又有聯系，容易混淆，下面舉例說明.

恒成立

例1 （1）若不等式x-4+x-3>a對一切實數x恒成立，則實數a的取值范圍是______；

（2）若不等式x2-2mx+2m+1>0對0≤x≤1的實數x恒成立，則實數m的取值范圍是______；

（3）對于滿足0≤p≤4的實數p，使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范圍是______.

解：（1）即（x-4+x-3）min>a.

由絕對值的幾何意義知，當且僅當3≤x≤4時，x-4+x-3取到最小值（最小值是1），從而得實數a的取值范圍是（-∞，1）.

（2）設f（x）=x2-2mx+2m+1（0≤x≤1），題意即f（x）min>0，通過分類討論可求出f（x）min，進而求解本題.但以下的分離常數法更簡潔：

題意即不等式x2-2mx+2m+1>0對0≤x<1的實數x恒成立（因為x=1時，即2>0），得x2+1>2m（x-1）（0≤x<1）. 設1-x=t，得0

該式成立，即2-2m

（3）題意即當0≤p≤4時，f（p）=（x-1）p+x2-4x+3>0恒成立，即f（p）min>0，

它又等價于f（0）=x2-4x+3>0，f（4）=x2-1>0，從而可求得x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）.

能成立

例2 若存在實數x，使不等式x-4+x-3

解：題意即（x-4+x-3）min

恰成立

例3 若關于x的不等式1x+2x+…+（n-1）x+nxa>0（n>1，且n是已知的整數）恰在x<1時成立，則實數a的取值范圍是______.

解：題意即關于x的不等式x+x+…+x>-a的解集為（-∞，1）.

設f（x）=x+x+…+x，則f（x）是R上的減函數（因為f（x）的每一項都是減函數）.

又x∈（-∞，1）？圳f（x）>f（1），所以題意即f（x）>-a？圳f（x）>f（1）.

注意到f（x）是R上的減函數，所以-a=f（1）（若-a-a不能推出f（x）>f（1）；若-a>f（1），則f（x）>f（1）不能推出f（x）>-a），得-a=f（1）=，a=，所求a的取值范圍是.

注：若將題目中的“x<1”改為“x≤1”，則答案為.