“算兩次”方法在自主招生解題中的運用

摘 要：“算兩次”的方法在數學解題中經常用到. 一樣的事實，兩種算法，便可以得到一個數學等式，這是值得重視的解題途徑. 這種方法在自主招生等各種考試中經常被運用.

關鍵詞：算兩次；自主招生

“算兩次”的方法在數學解題中經常用到. 一樣的事實，兩種算法，便可以得到一個數學等式，這是值得重視的解題途徑. 這種方法在自主招生等各種考試中經常被運用.

例1 如圖1，在△ABC中，AB=AC，在AB，AC上取P，Q，若使得AQ=PQ=BP=BC，求角A的大小.

解：設AQ=PQ=BP=BC=x，對AB算兩次由正弦定理得：AP=2xcosA. 因而，AB=x+2xcosA.

又在△ABC中，AB=，故而，x+2xcosA=. 于是，1+2cosA=. 從而，3sin-4sin3=，變為sin=，得A=20°.

例2 （2011上海新知杯競賽）如圖2，在△ABC中，M，N分別在AB，AC上，且AM=6，AN=4，MB=4，NC=3，O是BC的中點，且OM⊥ON，求角A.

解：取P是MN的中點，在直角三角形OMN中，=2，=-，2=+，即-2=+2，可得52-48cosA=25+24cosA，得cosA=，A=arccos.

例3 （2012華約自招）如圖3，已知在銳角三角形ABC中，BE垂直AC于E，CD垂直AB于D，BC=25，CE=7，BD=15，以DE為直徑的圓與AC交于F，求AF的長.

圖3

解：易知sin∠ABC=，cos∠ABC=，sin∠ACB=，cos∠ACB=，所以sinA=sin（∠ABC+∠ACB）=①. 另一方面，在△ABE中，sinA==②.

由①和②得AB=30. 另外，因為DE是圓的直徑，可知DF⊥AC，所以DF∥BE，而BD=15，AB=30，說明D是AB的中點，即F是AE的中點，所以得AF=AE==9.

例4 已知等差數列{an}的公差不為零，在{an}中取出部分項ak1，ak2，ak3，…，恰好成等比數列{akn}，已知k1=1，k2=5，k3=17，求數列{kn}的通項公式.

解：由a=a1·a17，得（a1+4d）2=a1（a1+16d），即2d2=a1d，因為公差不為零，所以2d=a1.

對akn算兩次，一方面，在等差數列中，akn=a1+（kn-1）d=2d+（kn-1）d；另一方面，在等比數列中，akn=a1·3n-1=2d·3n-1. 于是，2d+（kn-1）d=2d·3n-1，得kn=2·3n-1-1.

例5 已知α，β都是銳角，且sin2α+sin2β=sin（α+β），證明：α+β=.

證明：已知α，β都是銳角，則-α，-β也是銳角，sin2α+sin2β=sin（α+β），即sin（α+β）=sin2α+sin2β ①.

又sin（α+β）=sin[π-（α+β）]=sin-α+-β=sin2-α+sin2-β=cos2α+cos2β，即sin（α+β）=cos2α+cos2β ②.

①+②得：2sin（α+β）=2，即sin（α+β）=1，于是α+β=.

例6 （2008全國聯賽）如圖4，P是拋物線y2=2x上的一動點，點B，C在y軸上，圓（x-1）2+y2=1內切于△PBC，求△PBC的面積的最小值.

圖4

解：設P的坐標是P（x0，y0），△ABC的面積是S，PB，PC與圓的切點是D，E. 一方面，S=BC·x0；另一方面，S=·1·（BC+PB+PC）=BC+PD，根據勾股定理可求得PD= ==x0，即S=BC+x0.

由以上兩方面，得BC·x0=BC+x0，注意到x0≠2，否則PE∥y軸，于是BC=，得x0>2.

這樣S=+x0=（x0-2）++4≥8，當x0=4，y0=±2時，△PBC的面積最小.

例7 （上海交大2010自主招生）用兩個鋼珠測算一工件的圓柱形內直徑D，若半徑為r1的鋼珠上端與孔口平面距離為H1，半徑為r2的鋼珠上端與孔口平面距離為H2（如圖5），則D=______.

圖5

解：如圖，設O2E=x，因為AB=CD，則2r2+H2=r2+x+r1+H1，所以x=r2-r1+H2-H1，于是O1E=，|所以內直徑D=+（r1+r2）.