利用平面內兩點間距離公式求一類問題的最值

摘 要：在初中數學教材中，平面內兩點間距離公式的教學愈來愈顯得重要，利用兩點間的距離公式來求一類最值簡捷方便.

關鍵詞：平面內兩點間距離公式；求最值；數形結合；簡捷方便

《中學數學雜志》2010年第6期第62頁例3：求+的最小值.該題原解答中是構造直角三角形利用勾股定理解決的，當0

本文利用上述公式，可以解決形如±這類問題的最值. 請看幾個例子.

例1 求+的最小值.

解：原式可變形為+. 上式表示點P（x，0）到點A（0，1）及點B（4，2）的距離之和.

如圖1，作點A關于x軸的對稱點A′（0，-1），連結A′B交x軸于點P，則PA+PB最小，最小值為線段A′B的長度A′B==5.

容易求出直線A′B的解析式為y=x-1，當y=0時，x=，故當x=時，原式的最小值為5.

說明：（1）原題解答分為以下三大步：①變形原式；②指出變形式的幾何意義；③求出變形式的最值并指出相應字母的取值.

（2）在平面直角坐標系中，利用兩點間的距離公式時，無需討論相應字母的取值范圍.

例2 代數式++達到最小值時，x，y值各是多少？（選自“2005我愛數學初中夏令營數學競賽題”）

解：原式=++，即++①.

若令點A（0，-2），B（3x，0），C（2y，1），D（4，3），則上式①等價于AB+BC+CD.

如圖2，當點A，B，C，D四點共線時，原式有最小值，最小值是線段AD的長度，AD==.

圖2

容易求出直線AD的解析式為y=x-2② .

把B（3x，0）代入式②得0=×3x-2，解得x=.

把C（2y，1）代入式②得1=×2y-2，解得y=.

故當x=，y=時，原式有最小值.

說明：本題難點解析：根據變形式①很容易得出本題的答案，但是變形式①是如何想到的呢？這是難點. 根據變形式①的前一步驟，設A′（0，2），B（3x，0），C（2y，1），C′（2y，0），D′（4，2），則原式=A′B+BC+C′D′，作出點A′關于x軸的對稱點A（0，-2），將線段C′D′向上平移一個單位長度到CD位置，這時C（2y，1），D（4，3），原式等價于AB+BC+CD.

例3 求y=-的最大值. （自編）

解：變形原式：y=-，上式表示點P（x，0）到點A（0，1）及點B（4，2）的距離之差的絕對值. 連結BA并延長交x軸于P，則 可知PA-PB最大，此時y最大值=AB==. 容易求出直線AB的解析式為y=x+1，當y=0時，x=-4，故當x=-4時，函數y的最大值為.

例4 求y=-的最大值. （自編）

解：變形原式：y=-=-=-.

上式表示點P（x，x2）到點A（3，2）及點B（0，1）距離之差的絕對值，連結AB并延長交拋物線y=x2于點P（如圖3），則y=PA-PB=AB為最大，y最大值=AB==. 容易求出直線AB的解析式為y=x+1，把P（x，x2）代入y=x+1中得x2=x+1，可解得x=或x=（舍去），故當x=時，y的最大值為.