一道高三調研題的多種解法

摘 要：本文對南通市2010—2011年度一道高三調研題進行全面的探究，利用不同的方法對其進行分析，給出了多種解法，以饗讀者.

關鍵詞：三角形；重心性質；阿波羅尼斯圓；最大值

南通市2010—2011年度第一學期高三期末調研考試第14題：已知等腰三角形腰上的中線長為，則該三角形的面積的最大值是多少？筆者提供以下幾種解法，僅供參考.

解法一（解三角法）：如圖1所示：令AD=x，由余弦定理可得3=x2+4x2-4x2cosA，故cosA=，則S△ABC=2x2sinA=2x2=≤2. 所以Smax=2.

圖1

解法二（斜率）：同解法1，x2=.所以S△ABC=·（2x）2·sinA=2x2sinA==-·. 由此，設k=，如圖2，得tan（180°-α）==，所以tanα=-，即kmin=-，所以Smax=-×-=2.

解法三（三角形重心）：如圖3，過點A作BC的垂線，分別交BD，BC于G，E兩點，因為AB=AC，所以E為BC的中點，則G為△ABC的重心.

因為BD=，所以BG=BD=. 設BE=x，則GE=.

所以S△ABC=·BC·h=·2x·3=3x=3≤3·=2. ？搖所以Smax=2.？搖？搖？搖

解法四（阿波羅尼斯圓法）：由已知得AB∶AD=2∶1，所以點A的軌跡是一個圓，以BD所在直線為x軸，與BD垂直的直線為y軸建立直角坐標系xOy，如圖4.

設A（x，y），B（0，0），D（，0），由AB∶AD=2∶1可得=2，化簡整理得x-2+y2=，所以點A的軌跡是以，0為圓心，為半徑的圓.所以S△ABC=2S△ABD≤2×××=2，得Smax=2.

解法五（幾何法）：如圖5，過點D作EC的平行線交BC于點F，并過點C作DE的平行線，使得四邊形CEDF為平行四邊形.

圖5

因為S△ABC=2S△BCD，S△CDF=S△BCD，所以S△BDF=S△BCD=S△ABC. 又S△BDF=·BD·DF·sin∠BDF=···sin∠BDF=sin∠BDF≤.

所以S△ABC=S△BDF≤×=2. 所以Smax=2.

從以上五種解法可以看出，解法一學生容易想到，但計算量較大；解法二、三比較常規，要求學生對重心性質、不等式等知識掌握比較熟練；解法四（阿波羅尼斯圓法）在最近幾年也頻頻出現在各地的試卷中；解法五思路巧妙，學生不易想到. 只有經過多思，才能有所創新.