讓初中數學課因哲學思辨而靈動

摘 要：中學數學教學不僅教會學生知識及其邏輯結構，還要給學生方法與能力的發展，更為重要的是讓學生獲得哲學意義上的啟迪，把握知識及其邏輯結構、方法與能力背后的辯證思維規律. 本文從數學概念教學、推理過程展示等數學教學活動論述了如何培養學生的哲學思辨意識與能力.

關鍵詞：哲學思辨；數學概念教學；推理過程展示

近年來，筆者聽過初中數學名師們上過的若干示范課，也欣賞過許多教學專家精彩的博文，但總覺得它們猶如一幅精美的人物畫，差最后的點睛，缺少一種靈動的韻味. 筆者通過讀波利亞《怎樣解題》和《愛因斯坦文集》，似有所悟：在這些巨人的視界中，“成功的數學教學或科學教學”最高的境界是除了給學生知識及其邏輯結構，還要給學生方法與能力的發展，其中容易被忽視也是最重要的是讓學生獲得哲學意義上的啟迪，把握知識及其邏輯結構、方法與能力背后的辯證思維規律. 初中數學教學在這方面尚有待深思并做出改變，對此，筆者提出幾點愚見.

在數學概念教學過程中，讓學生體會到“概念”的定義過程往往是一個由表及里的哲學思辨過程.

在教學中教師往往注意的是表象材料的羅列、內涵的反復講解、外延的拓展，縱觀許多名師的教學，無非是羅列的花樣繁多，講解的過程精彩，拓展得更能適應應試考試而已. 而概念產生的過程必須要經過由表及里、去偽存真的哲學思辨過程，恰恰是這一思辨過程被忽略了.

試看問題：如圖1，兩等大的圓O1、O2相離，另有一圓O與它們同時相切，但圓O的大小不定，試問：圓O的圓心軌跡如何；又：若兩等大的圓O1、O2相切，另有一圓O與它們同時相切，但圓O的大小不定，試問：圓O的圓心軌跡如何.

大部分的學生經作圖分析：兩等大的圓（圖中實線）相離，則圓O圓心的軌跡是圖1所示的直線AB；若兩等大的圓相切，則如圖2，一部分學生認為則圓O圓心的軌跡仍然是圖示直線AB，還有一部分學生注意到兩等大的圓（圖中實線）的切點必須去除，所以圓O圓心的軌跡是兩條射線.

其實，對于兩等大的圓（圖中實線）相切的情形，學生的兩種回答都是錯的. 這涉及教師在最初教學“直線”、“射線”、“線段”這一組概念時，是如何教的問題. 大多數教師往往是先舉大量實例，說明什么是直線，而后說明什么是射線，最后什么是線段；也有先介紹線段，然后再介紹射線、直線的. 但是，對于這三個概念的形成過程往往缺少讓學生自主思辨的過程. 大量的實例是如何抽象出“直線”的？概念的發展又是怎樣由“直線”到“射線”再到“線段”的？在抽象中舍棄了什么？最終留下了什么？要讓學生理解的不僅是什么叫做“直線”、“射線”、“線段”，更需要在抽象過程中從可度量性、整體與部分、延展性等方面讓學生形成對本質的認知. 這樣，學生才會在解決問題中抓住本質. 直線上去除一點后，留下的幾何圖形不能稱為兩條射線，射線是有端點的. 圖2的思路仍然存在考慮問題不周全的情況，如圖3，由于動圓可以與兩個定圓外切，因此同時與這兩個定圓外切的動圓圓心也應該被考慮是動圓圓心軌跡上的一點，這樣，直線AB上也就無需去除任何點，因此第二問的解答仍然是直線AB.

在數學教學過程中，教師展示推理過程要體現“辯證”思維的特點，無論是點的位置、數量關系、幾何關系都應在考察條件的變化中尋求解決思路.

試看問題組：（1）如圖4，△ABC與△ABD的面積相等，判斷AB與CD的位置關系并說明理由. （2）結論應用：①如圖5，點M，N在反比例函數y=（k>0）圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F. 證明：MN∥EF；②若①中的其他條件不變，只改變點M，N的位置如圖6所示，請判斷MN與EF是否平行.

絕大多數教師在教學中處理此題時，往往按部就班介紹思路：對問題（1），如圖7，分別從C，D作AB的垂線CG，DH，由已知同底的兩三角形又等積，進而得出必定等高. 再由兩高等且平行得出四邊形CGHD必為平行四邊形，最終得出CD∥AB. 對于問題（2）①，如圖8，連結MF，NE. 設點M的坐標為（x1，y1），點N的坐標為（x2，y2）. 因為點M，N在反比例函數y=（k>0）的圖象上，所以x1y1=k，x2y2=k. 因為ME⊥y軸，NF⊥x軸，所以OE=y1，OF=x2. 所以S△EFM=x1·y1=k，S△EFN=x2·y2=k. 所以S△EFM=S△EFN. 由（1）中的結論可知：MN∥EF. 對于②，作出如圖9所示的輔助線，同前述思路可證MN∥EF. 此題原為山東一次調研試題，構思不可謂不巧，層層啟發學生思考，遞進考查學生的學習與遷移能力. 但若作為課堂教學例題，這樣的教學設計啟發有余，而對于學生的辯證思維能力則培養不足. 教師應該在指導學生按照原題的思路自主思考解決此題后，進一步提問：由圖8、圖9，是否可以判斷出只要M、N在同一個反比例函數的圖象上，則原題的結論都能成立（這就需要對稱性思維：圖8為M，N在雙曲線圖象的同支上，圖9為M，N在雙曲線圖象的異支上，同支、異支均成立，所以只要M，N在同一個反比例函數的圖象上，則原題的結論都能成立）. 在以上論證過程中，最有力的一步論據是什么？（S△EFM=S△EFN）這一步論據成立的基礎是什么？（x1y1=k，x2y2=k）而這一步論據是否一定要由問題（1）獲得？顯然這是雙曲線的特征，與問題（1）無關. 所以，應該有基于此的（x1y1=k，x2y2=k）其他解法？那么證明兩線平行的普遍方法也一定能證明MN∥EF.

如圖10和圖11，無論M，N是否在雙曲線的同支、異支上，總可以作出圖中所示的輔助線，若要證明MN∥EF，則必要有△KMN∽△KEF，必然要有：=，化為坐標式：=，也即要求：x1y1=x2y2，而由點M（x1，y1），N（x2，y2）都在雙曲線上顯然易得. 在這個問題中，點的位置是變化的，但位置的根本特征又是不變的，變和不變在此處僅是表象，決定性的是雙曲線的本性. 抓住這一點，思路也就不會狹窄.

總結以上兩點可見，初中數學課堂教學中教師運用辯證觀點處理教學難點更有利于開拓學生視野，培養學生獨特的批判性思維、創造性思維和發散性思維，真正做到以一當十，點石成金.