如何在教學中培養學生的思維能力

摘 要：數學課程應注意提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一. 那么教學中如何培養學生的思維能力？本文結合數學學科特點，從師生共同探究、廣泛聯想、積極反思三個方面做出探討.

關鍵詞：思維能力；再創造；共同探究；廣泛聯想；反思

新課標提出“關注學生的學習問題，關注學生的思維發展”，因此數學教學的一個主要目的是培養學生的思維能力. 而數學教學往往是通過解題來開展，以課堂練習為載體，以問題發現為主要突破口. 目前高中數學教學內容繁多而且時間緊迫，每一節課的每一分鐘都彌足珍貴. 為了追求效率，教師在課前往往認真備課，找到各種各樣的資料進行仔細梳理，對問題進行歸類，然后在課堂上把盡量多的題型對應的解題方法教給學生，讓學生記住這些解題方法，并對號入座的解題. 也有的教師在教學過程中點滴式地啟發學生，詳細引導學生解答問題，整個過程似乎十分流暢，而實際教學效果不盡如人意. 這樣的教學模式常常存在，也充分展示了教師的思維，但沒有讓學生整體地面對問題，全局地思考問題，探究問題，學生的思維能力沒有得到實質性的提高. 長時間如此，學生只會模仿解題，學生被培養成依樣畫葫蘆的能手，甚至連學生探究知識的熱情也會被扼殺，學生的思維培養就流于空談了.

荷蘭數學家弗賴登塔爾提出：“學生學習數學是一個再創造的過程，把前人已經創造過的數學知識重新創造一遍”. 因此在教學中，要根據新課標的精神，倡導學生主動參與，樂于探究，勤于動手，進而培養各種思維能力. 具體教學中應該重點注意以下三個方面.

師生共同探究

在教學過程中，經常會遇到一些意料之外的事，有時學生所想的與教師事先的教學設計不吻合. 教師通常會有兩種選擇：一是調整學生思路，使其回到預設的軌道上來；二是教師放棄原有的教學設計，讓學生思維的種子萌芽、成長. 筆者曾在一節數列課中給出了一道很常規的例題：在等差數列{an}中，Sn是其前n項和，已知S100=10，S10=100，求S110. 筆者原計劃是給學生回顧基本的數列公式，但題目一給出，講解時學生提出了很多不同的解法. 看到這種情況，筆者調整計劃，按一題多解的上課思路，放開學生的思維，和學生共同總結四種解題的方法.

方法一：利用求和公式先求出a1，d，再求S110.

方法二：先設Sn=an2+bn（a≠0），求出a，b，再求S110.

方法三：將數列依原有的順序每10項分為一組，每組的和作為一項構造新數列.

方法四：根據等差數列的性質“m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq”，再將其作為一個整體代入，靈活又簡便.

在完成這些僅利用數列知識解決問題的方法后，筆者準備總結時，有一個學生提出新的看法，筆者讓他在黑板上寫出了如下解法：因為Sn=na1+，所以=a1+（n-1）d是關于n的一次函數，所以點10，，100，，110，共線，則=，解得S110=-110. 這方法雖然不是很簡單，但思路很好，能利用數形結合，將其轉化為解析幾何問題，進行了知識的交叉、遷移，進一步拓展了學生的思維.

這節課事先設想的教學設計未能實施，但學生獲得了自主探究的機會，讓他們感受到了成功的喜悅，也激發了他們的思考熱情，課堂教學也收到了很好的效果. 因此我們在教學中要發揚民主，給學生提供平等交流的機會，師生共同探究，不要讓學生在教師的框框下模仿.

廣泛聯想

數學問題的解決本質上就是尋求命題的條件與結論之間的邏輯聯系. 解題的思維推理過程實質上就是一系列廣泛聯想的過程. 蘇聯著名數學家C·A·雅諾夫斯卡婭在一次演講中說：解題就是把題歸結為已經解過的題. 聯想就是從舊方法到發現新方法的中介，因此在教學中引導學生進行聯想，也鍛煉學生的思維. 聯想有很多種方式，比如有相似性聯想、特殊性聯想、整體性聯想，也可以跨學科聯想.

例1 設函數f（x）是R上的非零函數，且對于任意實數x1，x2，總有f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）f（x2）成立，又f=0，問f（x）是否為周期函數？

分析：由于f（x）為抽象函數，故嘗試尋求實例支撐. 由函數關系式的結構去觀察、聯想，發現函數f（x）與y=cosx具有相似的性質. 如cos（x+y）+cos（x-y）=2cos（x）cos（y）. 于是猜想f（x）是以2π為一個周期的函數.

解：由題設函數關系式得f（x1+x2）=2f（x1）f（x2）-f（x1-x2），又因為f=0，所以f（x+2π）=fx++=2fx+·f-fx+-=-f（x+π）=-fx++=-2fx+f+fx+-=f（x），即f（x+2π）=f（x），故f（x）是以2π為一個周期的周期函數.

這題用了相似性聯想，這種聯想往往從性質相似、形式相似的同類內容想起.

例2 在等比數列{an}中，a5+a6=a（a≠0），a15+a16=b，則a25+a26的值為（ ）

A. B. C. D.

分析：這題用數列的性質不難得出正確選項，但如果能跨學科聯想到物理學科的量綱分析法，會有更巧妙的解法，我們設想這個等比數列的各項具有一定的實際背景，比如都是長度（設其單位為m），則公比是無單位的量，而a，b單位都應為m，對照選項，只有C可選.

運用聯想常常能獲得出人意料的巧思妙解，能使學生的眼界更加開闊，洞察能力更為深刻. 當然，要合理運用聯想成功解決問題并不簡單，這取決于知識結構多維化的程度和是否善于運用聯想的規律. 聯想是一種重要的思維活動，我們不能因為他難于駕馭，而束縛學生的聯想翅膀，采用填鴨式教學. 教學中教師不一定要學生一舉解決問題，但一定要把學生培養成頭腦敏捷、思維活躍的創新人才.

積極反思

反思能促使學生從不同方面多角度觀察事物并尋求不同思路，善于在學習中質疑問題，解決問題時不滿足常規的思考方法，這樣有利于學生思維的培養、創新能力的形成. 因此，在教學中教師一定要引導學生學會反思，積極反思. 可以引導學生反思解題過程，以培養思維的嚴謹性；反思思維定式，以培養思維的靈活性；反思解題方法，培養學生的獨創性，等等.

例3 已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且=，則使得為整數的正整數n的個數是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 無數個

分析：這題主要考查等差數列的前n項和與第n項之間的聯系.正確選項是C. 如果不反思解題過程，可能有學生歪打正著得出C選項，其解題思路可能是這樣的：===7+，當n=1，3，5，9，21時，為整數，故選C. 這種解法顯然是錯誤的. 也可能有這樣的錯誤解法：設An=k（7n+45），Bn=k（n+3）（k是與n無關的常數），則an=An-An-1=7k，bn=Bn-Bn-1=k，從而=7，故使得為整數的正整數n的個數有無數個，選D. 如果不仔細反思解題的過程，很容易就以為是正確的解法. 在等差數列{an}中，設其前n項和為Sn，則S2n-1==（2n-1）an，故an=，所以對第一種解題思路，正確的是：===7+，當n=1，2，3，5，11時，為整數，故選C. 第二種解法錯在沒有弄清等差數列的前n項和Sn是關于n的二次式，并且不含常數項. 因此若設成An=kn（7n+45），Bn=kn（n+3），再求出的表達式來解，則是正確的.

像以上通過對一些解題方法、思路的反思，可以優化知識結構，提高學習效率，能使學生的解題能力和思維能力向更高的層次升華. 所以在教學中教師要不失時機地引導學生進行反思，使學生養成良好的反思習慣.

當前教師不再是課堂教學的主導者，而是組織者和引導者，要組織我們的學生積極主動地投入到各項教學活動中來. 在教學活動中，教師要引導學生展開聯想，積極反思. 若教師在傳授知識的同時，也培養了學生思維，那學生不僅可以學會教師教授的數學知識，還可以在自己的思維實踐中學到教師沒有講授的知識，甚至創造新知識.