對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考

摘 要：數(shù)學(xué)概念的抽象性決定了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)具有一定的困難性，因此需要高中數(shù)學(xué)教師能在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中為學(xué)生提供感性事物來支撐. 如何知道學(xué)生已經(jīng)掌握了一個數(shù)學(xué)概念呢？顯然，我們不能看學(xué)生能否用語言將概念的定義復(fù)述出來，而是看學(xué)生能否用概念來解釋一些現(xiàn)象，能否在新的情境中靈活運用.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；技巧

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，由于數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間圖形關(guān)系的學(xué)科，所以數(shù)學(xué)概念一般被理解為能夠反映事物在數(shù)量關(guān)系與空間圖形上的本質(zhì)特征的思維形式. 顯然，數(shù)學(xué)概念的抽象性決定了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)具有一定的困難性，因此需要高中數(shù)學(xué)教師能在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中為學(xué)生提供感性事物來支撐.

作為數(shù)學(xué)教師，研究高中數(shù)學(xué)首先必須研究數(shù)學(xué)概念的定義，即人們習(xí)慣是如何描述一個數(shù)學(xué)概念的；其次，還需要研究數(shù)學(xué)概念的生成過程，弄懂?dāng)?shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，這樣學(xué)生對概念及其本質(zhì)就會有一個深刻的認(rèn)識.那么，如何知道學(xué)生已經(jīng)掌握了一個數(shù)學(xué)概念呢？顯然，我們不能看學(xué)生能否用語言將概念的定義復(fù)述出來，而是看學(xué)生能否用概念來解釋一些現(xiàn)象，能否在新的情境中靈活運用.

研究數(shù)學(xué)史可以知道，數(shù)學(xué)的形成都是經(jīng)歷了一個豐富過程的，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，在合適的時候通過合適的方式豐富知識發(fā)生的過程，分析、歸納出事物的本質(zhì)屬性，有助于學(xué)生更好地理解并掌握數(shù)學(xué)概念.

以“橢圓”的概念教學(xué)為例.分析學(xué)生的前概念，我們可以發(fā)現(xiàn)由于日常生活經(jīng)驗的影響，有的學(xué)生常常把橢圓理解為“扁圓”，又有的學(xué)生常常把橢圓理解為“不正的圓”，同時，學(xué)生在衛(wèi)星發(fā)射的動畫模擬圖中常常聽到“橢圓軌道”，對照動畫中的立體圖形，又把橢圓理解為“鴨蛋圓”（學(xué)生語）. 學(xué)生的這些先前相互經(jīng)驗既為橢圓數(shù)學(xué)定義帶來困難，同時又是一種契機.

筆者在調(diào)查到了解到上述情況之后，設(shè)計通過“同化”的思路來加強學(xué)生對橢圓概念的認(rèn)同與理解，具體做法如下：

首先，通過親身體驗理解橢圓是如何形成的. 方法是在木板上釘兩個釘子，然后將一根線的兩端系在釘子上，用一支筆繃緊細(xì)線（靠近筆尖），移動筆尖，使其在木板上畫出一個橢圓，如圖1.

然后，結(jié)合上述體驗，讓學(xué)生給出橢圓的文字描述. 通過一番分析之后，一般可以得到這樣的描述：平面上到兩點的距離為定值的點的集合. 為了給下面的講述設(shè)置認(rèn)知沖突的高度，教師可以讓學(xué)生確認(rèn)“是不是平面上到兩點的距離為定值的點的集合就一定是橢圓？”如果學(xué)生確認(rèn)，則下面的教學(xué)可收到認(rèn)知沖突帶來的教學(xué)意外效果；如果學(xué)生不認(rèn)同（一般只有少數(shù)學(xué)生），則更為下面的知識生成打下良好的基礎(chǔ)——可以讓這部分學(xué)生說出他們的思考.

在學(xué)生描述的基礎(chǔ)上，教師再一次提出問題：是不是平面上到兩點的距離為定值的點的集合就一定是橢圓？在給出一定的時間讓學(xué)生討論之后，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，原來平面上到兩點距離相等的點的集合不一定是橢圓，還有可能正好是兩點之間的一條直線. 于是，橢圓的定義式就變成MF₁+MF₂=2a（2a>F₁F₂）.

以上是橢圓概念的初步學(xué)習(xí)，經(jīng)驗表明，只有這樣的體驗和理論思考還是不夠的，還需要通過一定的習(xí)題來強化訓(xùn)練. 但這個時候?qū)α?xí)題的選擇又不能盲目，一定要緊扣知識的生成過程，以“變式”的方式進(jìn)行訓(xùn)練，這是效果比較好的教學(xué)策略選擇.

例如對橢圓概念的深化，筆者選擇的是這樣一道簡單的例題：坐標(biāo)上到點A（-4，0）與點B（4，0）距離為10的點的集合是什么圖形？坐標(biāo)上到點A（-4，0）與點B（4，0）距離為8的點的集合是什么圖形？坐標(biāo)上到點A（-4，0）與點B（4，0）距離為6的點的集合是什么圖形？

通過這三個問題遞進(jìn)式的提問，第一個問題學(xué)生最熟悉，學(xué)生的第一反應(yīng)就是“當(dāng)然是橢圓”，只有少數(shù)學(xué)生此時會有意識地判斷一下10與兩點之間距離8的關(guān)系，這也說明了學(xué)生對橢圓的定義理解還不深入；通過第二個問題，有助于學(xué)生再去回顧第一個問題必須滿足的條件，同時將這一問與上一問進(jìn)行對比，這樣對橢圓概念的理解就更為豐滿；再加上第三個問題——事實上這個圖形是不存在的——的分析與解答，這時一個平面上到兩固定點的距離為定值的情況就已經(jīng)全部討論到了，而其中之一，原來就是橢圓的印象就會深入學(xué)生的思維當(dāng)中.

由這一則教學(xué)例子筆者想到，一個概念的形成與深化，需要在新授課上給足時間與空間，通過多種方式讓學(xué)生理解應(yīng)用，這個知識的發(fā)生過程要盡量豐富，在實施教學(xué)時要多選擇學(xué)生感興趣且又簡潔的器材來演示，這樣可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)就在身邊. 特別要注意的是，不能等到后來不斷地用習(xí)題進(jìn)行重復(fù)式訓(xùn)練，因為這樣不但收不到很好的效果，還容易讓學(xué)生喪失對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

再以“圓錐曲線”的概念教學(xué)為例.

到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線. 當(dāng)01時為雙曲線.

圓錐曲線這個概念內(nèi)容既豐富又抽象，如何深化這個概念在學(xué)生頭腦中的印象，讓學(xué)生對圓錐曲線形成一個比較好的認(rèn)識是擺在高中數(shù)學(xué)教師面前的一個無法回避的問題. 事實再一次表明，如果此時不讓學(xué)生加深理解，后面要付出幾倍的努力才能讓學(xué)生理解圓錐曲線的概念.

筆者基于變式和反例的思想，通過改編一道題目，設(shè)置了這樣一個問題來創(chuàng)設(shè)一個理解圓錐曲線概念的情境：設(shè)平面內(nèi)有一個點A，其到點M（1，0）的距離與其到直線l：x+y-1=0的距離相等，那么點A的軌跡是什么圖形？

學(xué)生在思考這個問題一段時間之后，給出了不同的答案. 極少數(shù)學(xué)生因為概念不清，將題目中的點A到點M與直線l距離相等，與橢圓定義中一動點到兩定點距離相等混淆，于是認(rèn)為本題中A點的軌跡即為橢圓；相當(dāng)一部分學(xué)生則不假思索地認(rèn)為A點的軌跡是拋物線；當(dāng)然也有極少數(shù)學(xué)生認(rèn)為這是一條直線.

學(xué)生作出了錯誤的判斷總是有其原因的，為了讓學(xué)生暴露出概念理解上的錯誤，筆者先選擇一個認(rèn)為是拋物線的學(xué)生來說出他的想法，應(yīng)該說這個學(xué)生的想法很具有代表性：一個動點到一個定點與一條直線的距離相等的軌跡應(yīng)該是拋物線啊.這有什么爭議呢？

然后筆者再讓一個判斷對了的學(xué)生說出他的想法，他的想法很直接（這個學(xué)生還是比較聰明的），他說“我一開始也認(rèn)為是拋物線的，但我想老師應(yīng)該不會出這么簡單的題目給我們做吧，再仔細(xì)看看，發(fā)現(xiàn)這個點M正好就在直線l上，這就有了問題了，我的第一感覺就是可能不會是拋物線了，然后再演算了一下就發(fā)現(xiàn)這原來是一條直線. 而且我們可以給出具體的證明（略）”.

后來筆者思考這段教學(xué)過程，發(fā)現(xiàn)有時要讓學(xué)生真正理解一個數(shù)學(xué)概念，一是要弄清楚學(xué)生已經(jīng)掌握到什么程度，要讓學(xué)生暴露出自己認(rèn)識上的不足；二是要多用利用變式和反例這兩個屢試不爽的法寶. 通過變式，我們可以讓學(xué)生在不同情境中加深對概念的理解，而通過反例，則可以將學(xué)生的思維引向深入，讓學(xué)生不僅意識到為什么必須這樣，還能意識到為什么那樣就不行.

概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)眾多內(nèi)容中比較基本的一個組成部分，俗話說“基礎(chǔ)不牢，地動山搖”，概念教學(xué)作為高中數(shù)學(xué)知識教學(xué)的基礎(chǔ)，怎么強調(diào)都不為過. 筆者的一點粗淺思考僅作拋磚引玉之用，希望能看到更多的高中數(shù)學(xué)同行貢獻(xiàn)智慧，將新課改背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)推向深入.