二次函數的深入研究

摘 要：二次函數是高考數學的重頭戲. 本文從函數概念出發，對二次函數的單調性、最值與圖象做了研究，并通過這些研究，說明其可以準確反映學生的數學思維.

關鍵詞：二次函數；研究

在歷年高考試題中函數的知識點和函數思想都占有相當重要的地位，而其中的二次函數猶如一根紅線貫穿其中. 在初中教材中，對二次函數作了詳細的研究，由于初中學生理解能力較差，又受其接受能力的限制，對這部分內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解. 進入高中以后，對二次函數的基本概念和基本性質（圖象以及單調性、奇偶性、對稱性、有界性）的理解提出了更高的要求. 作為最基本的冪函數，可以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以編出靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力，使其成為高考數學的必考內容.

進一步深入理解函數概念

初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生對函數的一些理解，特別是以二次函數為例更深層次地認識函數. 二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A中的元素x對應，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）. 這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型Ⅰ：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1）. 這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值.

類型Ⅱ：設f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.這個問題理解為，已知在對應法則f下，元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素x的象，其本質是求對應法則. 一般有兩種方法：（1）把所給表達式表示成x+1的多項式，f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2-6x+6；（2）變量代換：它的適應性強，對一般函數都適用，令t=x+1，則x=t-1，所以f（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6，從而f（x）=x2-6x+6.

二次函數的單調性、最值與圖象

在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間-∞，-及-，+∞上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學習函數單調性.

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性.

（1）y=x2+2x-1-1；（2）y=x2-1；（3）=x2+2x-1.

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系，把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象，通過圖象去研究函數的單調性.

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上要么只有最小值，要么只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習. 如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數的值域.

二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維

類型Ⅳ：設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0

解題思路：本題要證明的是x

（1）先證明x

因為00，又a>0，因此F（x）>0，即f（x）-x>0.

至此，證得x

根據韋達定理，有x1x2=. 因為0f（0），所以當x∈（0，x1）時f（x）

（2）因為f（x）=ax2+bx+c=ax++c-（a>0）.

函數f（x）的圖象的對稱軸為直線x= -，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-. 因為x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=-. 因為x2-<0，所以x0=-=x1+x2-<，即x0<.

二次函數的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入.？搖