探析類比思想的數學教學功能

摘 要：將類比思想應用于高中數學教學中可以培養學生的解題能力、知識遷移能力及創新思維能力；類比思想可以幫助學生貫通知識間的聯系，形成系統的知識結構.

關鍵詞：類比思想；解題能力；知識體

在平時的教學中，常有學生問筆者這樣的問題：老師您怎么會想到用這樣的方法求解？我怎么找不到解題的方法呢？筆者認為，學生困惑的根源可能是缺乏知識的遷移能力或者尚未形成系統的高中數學知識體系.

作為數學教師，在落實雙基的同時，還應該幫助學生構建系統的高中數學知識體系，培養學生的知識遷移運用能力.這要求數學教學不是書本知識的簡單堆積，而是要用一系列的數學思維活動把知識“串”在一起，使學生真正領悟到數學知識深化發展的動態過程. 而類比思想是串聯新舊知識的紐帶，同時也是培養學生探究能力和創新能力的有力工具.

類比思想的重要性

類比往往是猜想的前提，猜想又往往是發現的前兆，這種情況在科學發展史上比比皆是. 在人類歷史上，類比獲得的科技發明不勝枚舉，魯班類比帶齒的草葉發明了鋸，科學家類比蝙蝠規避障礙物的原理發明了雷達，類比金槍魚的結構發明了金槍魚潛艇……

數學家們認為，類比是數學發現的重要源泉，波利亞在《怎樣解題》中指出“類比是一個偉大的引路人”. 在高中數學中，類比是最基本、最重要的數學思想方法之一，它不但能由已知解決未知，由簡單問題解決復雜問題，還能體現數學思想方法之奇妙.

類比思想在教學中的運用

1. 運用類比思想培養學生的知識遷移能力和解題能力

現代學習論指出，促進學生的學習和發展，是有效教學的根本目的，也是衡量教學活動有效性的唯一標準. 在數學課堂教學中恰當地運用類比思想，可以幫助學生舉一反三、觸類旁通，提高解題能力，也可以引導學生探索獲取新知識，提高學生的創新思維能力.

眾所周知，數學問題不勝枚舉，解題的方法也是千差萬別，類比思想存在于解決數學問題的過程中，是幫助我們尋找解題思路的一種重要的思想方法. 當我們遇到一個“新”的數學問題時，如果有現成的解法，自不必說；否則解決問題的關鍵就是尋找合適的解題策略，看能否想辦法將之轉化到曾經做過的、熟悉的、類似的問題上去思考. 通過聯系已有知識給我們的啟發，將已有知識遷移到新問題中來，把解決已有問題的方法移植過來，為所要解決的問題指引方向.

（1）等差與等比的類比

例1 等差數列{an}中，若a10=0，則有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n<19，n∈N+）成立，類比上述性質，在等比數列{bn}中，若b9=1，則_______.

解：在等差數列中，a10=0，那么以a10為中心，前后間隔相等的項和為0，即a9+a11=0，a8+a12=0，…，所以有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n<19，n∈N+）成立.

同樣，在等比數列{bn}中，若b9=1，則以b9為中心，前后間隔相等的項的積為1，即b8b10=1，b7b11=1，…，所以有下列結論成立：b1b2…bn=b1b2…b17-n（n<17，n∈N+）

（2）平面與空間的類比

在解決空間幾何問題時，有很多可以類比平面幾何問題求解，美國數學家、數學教育家波利亞曾指出：“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題.”

例2 在平行四邊形ABCD中，有AC2+BD2=2（AB2+AD2），類比到空間平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，類似的結論是__________.

解：如圖1，在？荀ABCD中，設向量=a，=b，則=a+b，=a-b，有2=·=（a+b）·（a+b）=a2+2a·b+b2，①

同理，2=（a-b）·（a-b）=a2-2a·b+b2. ②

①+②，得2+2=2（a2+b2）= 2（2+2），也就是2+2=2（2+2）.

類似地，如圖2，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，可設=a，=b，=c，則=a+b+c，=-a+b+c，=-a-b+c，=a-b+c，

同上面方法可計算出下列結論成立：AC+BD+CA+DA=4（AA+AB2+AD2）.

平面與空間類比的例子還有很多，如：

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點D，則=+成立，類比此性質，在四面體P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PD⊥平面ABC于點D，則=++.

2. 已知△ABC中，內切圓半徑為r，三邊長為a，b，c，則△ABC的面積S=r（a+b+c），若一個四面體內切球的半徑為R，四個面的面積分別是S1，S2，S3，S4，則這個四面體的體積V=·R（S1+S2+S3+S4）.

3. 如圖3，在平面幾何中，△ABC的內角平分線AD分BC所成的線段比BD：DC=AB∶AC，把這個結論類比到空間，有以下結論：

在三棱錐A-BCD中，平面DCE平分二面角A-CD-B，且與棱相交于點E，則有=.

（3）線性與非線性的類比

例3 （2012江蘇14）已知正數a，b，c滿足5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是________.

解：由5c-3a≤b≤4c-a，得5-3≤≤4-，所以≥，≤4-≤，由clnb≥a+clnc，得ln≥. 設=x，=y，在處理y≤lnx時可以類比：y≤x是表示直線y=x的下方區域，所以y≤lnx表示曲線y=lnx下方區域，這就是線性與非線性的類比.

x，y滿足y≤lnx，x≤，y≥，x>0，y>0， 可先求的取值范圍.

作出（x，y）所在平面區域（如圖5）：

利用的幾何意義“可行域內的任一點和點（0，0）所在直線的斜率”，由圖象可知分別在點，和切點分別取得最小值和最大值.設過點（0，0）的直線與y=lnx相切于點p（x0，y0），所以=，解得x0=e，y0=1，所以≤≤，e≤=≤7，即的取值范圍是[e，7].

類比的種類還有很多種，它們都可以把不熟悉的問題類比到熟悉的問題中，降低思維難度，使學生從被類比問題的解題思路和方法中受到啟發，便于發現新問題和解決新問題. 長期堅持，學生就會形成自主探究的習慣和創新思維能力.

2. 運用類比思想幫助學生貫通知識間的聯系，形成系統的知識結構

通過類比教學，可以讓學生加強不同知識板塊之間的聯系，能使學生在已有知識基礎上由陌生到熟悉，由淺入深，由直觀到抽象地學習新知識，有利于更好地理解新知識的內涵，符合教學的“循序漸進”原則.

（1）用類比思想引入新概念，可使學生更好地理解新概念的內涵與外延

數學中的許多概念、知識結構有類似的地方，在新概念的提出、新知識的講授過程中，可以運用類比的方法，因為被用于類比的特殊對象是學生所熟悉的，所以學生容易從新舊內容的對比中接受新知識，掌握新概念. 在高中數學中，可通過類比法引入的概念十分多，如球的概念教學可與圓的概念進行類比.

“平面內與定點距離等于定長的點的集合是圓. 定點就是圓心，定長就是半徑.”

“與定點的距離等于或小于定長的點的集合叫做球體，定點叫做球心，定長叫做球的半徑.”

教師在教授“球”這一概念時，可先讓學生復習“圓”這一概念. 然后設問“如果我們將概念中的‘平面’換成‘空間’，會得到什么樣的結果呢？”讓學生進行想象、討論，充分調動學生的積極性. 新概念的建立，完全可以由學生自己完成. 通過這樣的類比設問，將知識建構的主動權還給學生，能更好地激發學生學習數學的積極性.

（2）類比思想用于定理法則的教學，以加深理解、記憶及應用

例如，復數的四則運算加減法一節中，可這樣設問，“類比以前學過的合并同類項，你認為兩個復數a+bi與c+di的和或差應該是什么？”學生通過討論很容易得出復數的加減法法則：“兩個復數相加（減），把實部和虛部分別相加（減），虛部保留虛數單位即可.” 復數乘法也可和整式乘法類比進行類似處理.

復數除法可以和根式除法進行類比，可設問如下：“在做根式除法如時，分子分母都乘以分母的‘有理化因式+’，從而使分母有理化.那么在進行復數除法如時，我們應該如何使分母實數化呢？”在了解了共軛復數概念后，學生知道了一對共軛復數之積是一個實數，學生自然而然想到把分子分母都乘以分母的實數化因式，也就是共軛復數2+3i，就可以使分母實數化了.

在上面的教學活動中，通過類比，以舊引新，學生把復數四則運算的法則和以前所學的合并同類項、分母有理化等知識對照起來，記憶得會更加牢固，理解得會更加深刻，運用得會更加得心應手.

（3）運用類比，將學生的數學知識系統化

心理學家們認為，孤立的知識容易遺忘，而系統化的知識有利于理解和掌握，也易于遷移和應用. 如在上完空間幾何體的體積一節后，復習柱體、椎體、臺體的體積公式時可以和平面圖形中平行四邊形、三角形、梯形的面積公式類比，把舊知識與新知識結合起來形成系統的知識體系，如下：

再如，學完立體幾何后，可以如下引申拓展：

在三角形中存在下面性質：⑴三角形的兩邊之和大于第三邊；⑵三角形的中位線等于第三邊的一半；⑶三角形三個內角的平分線交于一點，且該點是三角形的內心.

類比猜想可得四面體的類似性質：

（1）任意三個面的面積之和大于第四個面的面積；

（2）四面體的中位面的面積等于底面面積的四分之一；

（3）四面體的六個二面角的平分面交于一點，且該點是這個四面體內切球的球心.

通過這樣的類比，既鞏固了原有知識，又加強了對新知識的理解，形成了系統化的知識建構，便于學生理解、記憶和應用.

綜上所述，在高中數學教學中，恰當地使用類比思想進行啟發，可以幫助學生貫通知識間的聯系，使知識脈絡縱橫交融，形成系統的知識網絡，逐步構建良好的認知結構，能有效地幫助學生梳理原有知識，產生遷移，探索新的知識領域，形成新的觀點，提高思維的創造性，實現認識上的飛躍.

雖然類比思想得出的結論的正確性還需進一步驗證，但它能教會學生一種探索問題的方法. 這也正是目前我們要把學生從“學會”轉化為“會學”的一種有益嘗試，“授之以魚，不若授之以漁”，因而在數學教學中恰當地運用類比思想也可以開發學生的智力，養成科學的思維習慣，提高學生的數學素養.