策略，變式，本質

摘 要：本文通過對幾個教學案例的展示、分析、隨感、改進，展現在例題教學中，教師應該注重解題時的策略調整、變式探究和本質揭示，挖掘問題的內涵與外延，充分地消化吸收，使得例題的教育教學價值實現最大化.

關鍵詞：例題教學；策略；變式；本質；教學價值

高三數學課，以復習課為主，在內容多、時間緊、任務重的現實情況下，很多的概念、定理、公式、知識和方法都需要通過一定量的題目進行有效訓練，才能實現教學目標的達成，逐步提升學生的解題能力，因此，解題教學是高三復習教學中不可或缺的一部分. 筆者所在的學校每周一次主備課工作抓得非常實，聽課、評課是主備課的重要環節，筆者聽了很多教師的課，受益匪淺，但也有教師由于對試題研究得不夠，從而進行膚淺地講解，粗糙地處理，這就弱化甚至失去了試題的訓練價值，不僅浪費了教學資源，而且浪費了學生的寶貴時間，造成了教學效果的低下.

策略調整，實現例題的教學價值最大化

為了實現解題目標而采取的方針叫解題策略，它體現了選擇的機智與組合的藝術. 解題策略的選擇是一種有目的的思維活動，有一定的猜測性和預見性，總之，是對數學問題的途徑和方法作出一種總體性的決策. 這種決策不唯一，但都帶有指向性，就是指向解題目標，在達到目標的過程中，可機動靈活地進行各種預見性的調整和整合，也可以稱為解題的策略調整.

案例1 在“三角形中的有關問題”（高三復習課）一課中，教師甲在講評例題時呈現了這樣一道題目：（2011湖北）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c. 已知a=1，b=2，cosC=.（1）求△ABC的周長；（2）求cos（A-C）的值. 教師不作任何提示，學生自己嘗試解決，教師巡視，約3分半鐘后.

教師：請大家談談這道題的解法.

學生1：第（1）問直接用余弦定理，由c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×=4，所以c=2. 所以△ABC的周長為a+b+c=5.

教師及時點評了學生1的做法，并詢問其余同學能否得到同樣的結果（了解學情）. 接著教師投影了學生2第（2）問的解題過程.

學生2：因為cosC=，所以sinC===. 所以sinA==. 又因為a

教師：學生2的解答正確嗎？本題的易錯點在哪里？

學生3：學生2的解答結果是正確的，我認為易錯點是對角A取值范圍的限制.

教師：請沒有判斷出角A為銳角的同學舉手.

教師統計出人數為14人，約占全班人數的25%，并再次強調在解三角的有關問題時，求值之前必須先考慮角的范圍.

聽課隨想：案例中，教師甲是位中年教師，有一定的教學經驗，他放手讓學生做、學生講、學生評，體現了學生為主體、教師為主導的教學理念，但教師對例題的處理略顯匆忙. 筆者認為本題的教學價值還需進一步挖掘，因為對于思維較慢、經驗欠豐富的學生，不能夠敏銳地洞察到A為銳角，教師應及時捕捉他們的認知沖突，進行有效引導，精心設問，進而推進教學走向深入.

反思改進：為什么要對角A進行判斷？因為由sinA=得到的應該是cosA=±，但當cosA=-時，A為鈍角，而由a

策略調整1：不判斷A為銳角，可以得到cosA=嗎？（進一步追問，激發學生的解題熱情，積極思考，不斷探究，用問題驅動課堂教學的自然生成）由（1）得b=2=c，所以B=C，cosA=cos（π-B-C）= -cos2C=-2cos2C+1=. 此處不去判斷A為銳角，也能求出cosA的值，這樣處理是為實現過程目標cosA=而進行的解題策略調整.

策略調整2：由1得出的c=2可判斷△ABC為等腰三角形，如圖1所示，我們的終極目標是求cos（A-C）的值. 在圖1中，能否構造出角A-C呢？由c>a可知C>A，所以可以作出邊AC的中垂線EF（如圖2），則∠A=∠ECA，∠BCE=∠BCA-∠A，而cos（A-C）=cos（C-A），問題（2）的另解如下. 設EC=x，則BE=2-x，BC=1. 因為B=C，所以cosC=cosB. 在△BEC中，cosB===，解得x=，即EC=，BE=，cos∠BCE===，所以cos（A-C）=.

解三角形的有關問題時，在運用三角函數的基本公式和解三角形的基礎知識的同時，也要善于抓住三角形的圖形特征，這樣才能打開思路，探尋出更多的解題途徑. 解題時，應緊扣解題目標，引導學生及時、有效地調整解題策略，實現例題教學價值最大化.

變式探究，實現例題的教學價值最大化

對典型例題進行改造和變式時，教師應有目的、有意識地去引導學生從“變”發現“不變”的本質，即“形”變“質”不變，再從不變的本質中尋找解題共性的規律和方法，這樣就可以融會貫通學生所學的知識，達到舉一反三，觸類旁通，知一題能知一類題的目的.

案例2 教師乙在復習“直線和平面平行、垂直關系的證明”時（高三二輪復習課）選用的題目：如圖3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， 已知AB=A1A，D為CC1的中點，O為A1B與AB1的交點.

（1）求證：AB1⊥平面A1BD；

（2）若點E為AO的中點，求證：EC∥平面A1BD.

對于（1），證線面垂直有哪些定理或公理使用呢？就本題而言有什么思路？

（引導學生回顧有關的定理和公理，由學生思考解決）以下為學生的解法思路.

思路1：如圖4，連結AD，B1D，OD. 易證A1B⊥AB1，再通過證△ADC≌△B1DC1得DA=DB1，又O為AB1的中點，所以OD⊥AB1. 因為OD∩A1B=O，所以AB1⊥平面A1BD.

思路2：如圖5，連結OD，取AB的中點M，連OM，CM，先證CM⊥平面ABB1A1，得CM⊥AB1，再證OD∥MC，所以OD⊥AB1. 易證A1B⊥AB1，又OD∩A1B=O，所以AB1⊥平面A1BD.

圖5

對于問題（2），

思路1：如圖6，取A1O的中點F，先證EC∥FD，再運用線面平行的判定定理可證得EC∥平面A1BD.

思路2：如圖7，連B1C交BD于點F，因為DC∥BB1，所以==. 又=，所以=. 所以OF∥EC. 又OF？奐平面A1BD，EC？埭平面A1BD， 所以EC∥平面A1BD.

本題也可在圖5的基礎上連結EM，通過面面平行證線面平行（證明略）.

聽課隨想：教師乙對本題的研究很透，分析講解到位，通過一題多解，調動學生積極思考，多角度探究證明，達到了對線面垂直、線面平行的判定和性質定理的鞏固及靈活運用.但立體幾何的教學其實更主要的是培養學生的空間想象能力和邏輯推理能力，筆者在教學中經常碰到一些學生空間感較弱，識圖的能力較差，會做也只是表象，例如問題（1）中的線面關系，如果把三棱柱平放，或者對三棱柱進行割、補，就會產生新的情境，他們就不能很快地尋找到證明思路，這就需要教師善于思考，設計一些形異質同的題目加以訓練，達到真正知一題解一類題的目的.

反思改進：基于這樣的目的和設想，筆者設計了如下的變題.

變題探究1：如圖8，已知△ABC是正三角形，A1A，CD都垂直于平面ABC，且A1A=AB=2a，DC=a，O是BA1的中點. 證明：（1）AO⊥平面A1BD；（2）OD∥平面ABC.

圖8

分析：圖8是把圖3中的三棱柱沿著平面A1BD割去一個幾何體而得到的，所以這道題的解法和例題如出一轍. （證明略）

若在圖3中，再補一個和正三棱柱ABC-A1B1C1一樣大的棱柱，對條件稍加修改，可設計出一道探究性試題.

變題探究2：如圖9，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD為菱形，且∠BCD=60°， E為線段BD1的中點，M為線段CC1的中點，當的比值為多少時，DE⊥平面D1MB？并說明理由.

圖9

分析：參照例題的思路2，連結EM，連AC交BD于點O，要證DE⊥平面D1MB，需要證DE⊥BD1，DE⊥EM，而要證DE⊥BD1，在△BDD1中，只要滿足BD=DD1，又BD=AD，所以可以探究出=1.

若將變題探究2中的條件“底面ABCD為菱形且∠BCD=60°”改為“底面ABCD為正方形”，如圖10，則可探究出=.

圖10

通過變題1和變題2的訓練，可實現多題歸一，讓學生感受在圖形割、補的變化中，把握不變的思路和方法，學會解題，善于解題，提升例題的價值. 教師要善于變式教學，通過變式教學訓練學生的基礎知識、基本技能和思維能力；通過變式掌握一類題的解法，則會以少勝多，而且能培養學生的探索精神和創新才能，凸顯例題的教學價值，良好的教學效果也會立竿見影.

揭示本質，實現例題的教學價值最大化

有效的教學活動應該是以“揭示數學本質，發展思維能力”（李善良語）為目標的，在數學教學中，要努力揭示數學的概念、法則、結論的發展過程和本質. 在解題教學中，也要把數學的思想方法、本質規律及本源性的東西揭示出來，讓學生進行內化，形成解題能力.

案例3 在一節“求函數最值”的專題復習課上， 教師丙選用一道高考題：（2008江蘇）在三角形ABC中，若AB=2，AC=BC，則三角形ABC的面積的最大值為________.

教師引導：求最值有哪些常用方法？結合本題圖形分析，應該從哪個角度著手求最值？（學生自主探究，很多學生能結合圖形思考，設邊BC長為x，建立了三角形面積關于x的函數，再求函數的最值）留給學生一定的時間，當堂解決問題，待大多數學生有了結果后，投影兩位學生的過程，筆者經過整理如下.

解法1：設BC=x，則AC=x，根據面積公式得S△ABC=AB·BCsinB=x·，由余弦定理得cosB===，所以S△ABC=x=，由三角形的三邊關系有x+x>2，x+2>x， 解得2-2

教師贊賞了學生的做法，并指明本題考查了三角形面積公式、余弦定理的知識，以及函數思想. 同時強調，解決函數最值問題，不能忽視定義域的求解.

教師：對于本題，很多同學從“數”的角度著手，是否也可以從“形”的角度著手呢？

教師引導后，相當多的學生還是沒能從坐標法入手. 為了避免教學時間的流逝，教師很無奈地講起了解法2.

解法2：（坐標法）如圖11，以AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，則有A（-1，0），B（1，0）. 設點C的坐標為（x，y）（y≠0），由題意可知，=·，即（x-3）2+y2=8（y≠0）. 所以點C在以（3，0）為圓心，半徑r=2的圓上（與x軸交點除外），而AB=2為定值，所以當yC=r=2時，S△ABC的最大值為2.

聽課隨想：教師從“數”“形”兩個角度來引導學生思考解題，優化了解題方法，滲透了數形結合的思想，應該說學生能從兩種解法中有所獲益. 但教師在引入坐標法的時候不夠自然，情境設計缺乏合理，因為本題的三角形既不等腰也不等邊，更不是直角三角形，而是一個動態的三角形，所以學生不容易從建系的角度思考. 解法2在學生的眼中只是一種好方法而已，相當一部分學生不能運用“坐標”這一有用的工具，解法1才是他們解題的首選，借助于解三角形的知識才是他們解題的落腳點，那些構思巧妙的解法，學生只有“欣賞”，卻不能變成自己的東西，更不能內化成自己的解題能力，為什么會有這種現象呢？因為教師把坐標法生硬地拋給了學生，并沒有探尋本題之源，揭示例題的本質.

反思改進：在三角形ABC中，AB為定值，=不變，而C為動點，所以△ABC的面積也隨之而變，最大面積的產生是由C點的變化而引起的. 那么動點C的軌跡是什么？求軌跡一般如何操作呢？設計這樣的問題串，可引導學生從最值產生的根源來探究，從而順其自然地引入坐標法，解法2中所求的圓也稱為阿波羅尼斯圓.

蘇教版《數學·必修2》第100頁習題2.2（1）探究·拓展第10題也是與阿波羅尼斯圓有關的一道題：已知點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，那么點M的坐標應滿足什么關系？求得的結果是以C（-1，0）為圓心，以r=2為半徑的圓，即（x+1）2+y2=4（圖略）. 2008年江蘇13題其實就是源于課本高于課本的一道好題，體現了命題者的大智慧.

有關阿波羅尼斯圓的考題在高考中曾多次亮相，如2005年江蘇卷第19題、2006年四川卷第8題，2008年江蘇卷第13題，通過這些題的呈現，讓學生感知高考，原來高考題來源于課本，來源于真實的課堂.

當學生獲知了數學概念、結論產生的背景，提煉出其中所蘊涵的思想方法之后，認知上便有了新的生成，這種生成會整合到自己的知識體系中，形成解題經驗并內化為解題能力.通過這樣的教學設計，揭示了試題數學本質，這樣的教學學生怎么會只停留在“欣賞”的層面上呢？欣賞的同時也能真正地掌握數學知識和解題方法.這樣的教學處理不僅挖掘出了試題的教學功能，而且提升了試題的教學價值.

高三數學復習教學抓得很緊，學校往往很重視階段考試的成績，導致教學進度快而不細，復習的內容多而不實，教學不應該只是重結果輕過程，也不應該只是重外顯的數學知識輕內隱的數學思維. 例題教學也是如此，不能一味地快節奏、大容量，急功近利，這樣反而得不償失，因此教師要不斷地研究試題，研究教法，善于引導學生做好解題前的分析，解題中的探索，解題后的反思. 一道典型的例題就是一道營養豐富的“滋補大餐”，我們應該細細咀嚼、美美品味、縱聯橫拓，注重解題時的策略調整、變式探究和本質揭示，挖掘問題的內涵與外延（當然要遵循教學大綱，準確把握其度），充分地消化吸收，使得例題的教育教學價值實現最大化！絕不能就題論題，造成資源的浪費與教學效果的低下.