“華約”數學考試概率試題分析及2013年備考對策

摘 要：“華約”概率試題的考試題型基本趨于穩定，逐漸成熟，且具備以下特點：1. 注重數學知識和其他學科知識的整合；2. 注重概率問題和其他數學知識的綜合；3. 注重對概率問題發生過程以及處理概率問題的基本方法進行考查等特點. 概率備考中，建議平時下工夫，做到厚積薄發，舉一反三，觸類旁通.

關鍵詞：概率；“華約”；自主招生

連續三年的“華約”聯盟考試AAA測試，都是由相關部門出題和閱卷，根據前幾年的考試形式，我們預測2013年的考試形式會進一步向全國高中數學聯賽靠攏，并且考試的題型、風格、難度都不會有太大變化. 連續三年，“華約”的選擇題依舊是10道，涉及的也是和以前一樣的知識點：三角函數、函數、數列、復數、立體幾何、解析幾何、平面幾何、組合問題. 這些題目都比較全面地考查了學生的知識能力、解題方法以及思維深度，有利于高校選拔人才，同時，概率問題也成為“華約”考試中的常客，而且三年的三道概率解答題都有一定的難度.

預測2013年“華約”考試中，概率問題應該會繼續受到自主招生命題的青睞，所以有針對性地對概率問題進行備考復習，應該會收到很好的效果. 下面我們就對三年考試的概率試題做深度的分析，以便考生在以后的自主招生備考中有的放矢，事半功倍！

真題解析

真題1 ？搖（2012年“華約”試題）系統內有2k-1個元件，每個元件正常工作的概率為p，若有超過一半的元件正常工作，則系統正常工作，求系統正常工作的概率Pk，并討論Pk的單調性.

分析與解

解法一：通過組合數C的變形，尋找出Pk+1與Pk的關系.

顯然Pk=C（1-p）np2k-1-n.

因為C=C+C=（C+C）+（C+C）=C+2C+C，所以Pk+1=C（1-p）np2k+1-n=（C+2C+C）（1-p）np2k+1-n=C（1-p）np2k+1-n+2C（1-p）np2k+1-n+C（1-p）np2k+1-n

=C（1-p）np2k+1-n+2C（1-p）n+1p2k-n+C（1-p）n+2p2k-1-n

=C（1-p）np2k-1-n[p2+2（1-p）p+（1-p）2]+C（1-p）kpk+1-C（1-p）k+1pk=C（1-p）np2k-1-n+C（1-p）kpk[p-（1-p）]

=Pk+C（1-p）kpk（2p-1），

因此當p>時，{Pk}遞增；當p<時，{Pk}遞減；當p=時，Pk+1=Pk.

解法二：通過事件發生的過程，尋找出Pk+1與Pk的關系.

顯然Pk=C（1-p）np2k-1-n，注意到前2k+1次的概率是前2k-1次成功k+1次的概率加上前2k-1次成功k次而后兩次有且只有一次成功的概率以及2k-1次成功k-1次后兩次都成功的概率，于是有

Pk+1=Pk-Cpk（1-p）k-1+Cpk（1-p）k-1[1-（1-p）2]+Cpk-1·（1-p）kp2

=Pk-Cpk（1-p）k+1+Cpk+1（1-p）k

=Pk+Cpk（1-p）k（2p-1）.

因此當p>時，{Pk}遞增；當p<時，{Pk}遞減；當p=時，Pk+1=Pk.

試題點評

本題是二項分布概率模型，主要考查了二項分布概率求解公式以及公式的變形應用.本題還重點結合了組合數的拆分，這也是本題的難點所在.解法一中，C=C+2C+C的變形，主要是為了尋找Pk+1與Pk的關系，進而比較它們的大小. 解法二主要是利用事件發生過程的內部關系，尋找前2k+1次的概率Pk+1與前2k-1次成功k+1次的概率Pk之間的遞推關系，達到解題的目的，這也是解決概率問題的常見方法.

因此本題比較全面地考查了學生對組合數、組合恒等式以及概率遞推關系等知識的掌握水平，比較全面、深刻地考查了學生對概率的認識，是一道不錯的概率題.

真題2 （2011年“華約”試題）將一枚均勻的硬幣連續拋擲n次，以Pn表示未出現連續3次正面的概率.

（1）求P1，P2，P3，P4；

（2）探究數列{Pn}的遞推公式，并給出證明；

（3）討論數列{Pn}的單調性及其極限P，并闡述該極限的概率意義.

分析與解

本題有一定的難度，要求考生有較強的推理能力，但利用第一問的結果，可以找到求P遞推公式的方法.

（1）P1=1，P2=1，P3=1-··=，當連續拋擲4次時，出現連續3次正面的可能情況是（正正正反）、（反正正正）、（正正正正），因此P4=1-3·4=.

（2）可以借助前n-1次、前n-2次、前n-3次，以及前n-4次未出現連續3次正面的概率推導出前n次未出現連續3次正面的概率Pn.

解法一，記前n-1次未出現連續3次正面的概率為Pn-1，

（ⅰ）若第n次為反面，則前n次一定沒有連續3次正面，滿足題意.

（ⅱ）若第n次為正面，則考慮前n-2次的情況，記前n-2次未出現連續3次正面的概率為Pn-2.

①若第n-1次為反面，又第n次為正面，則前n次一定沒有連續3次正面，滿足題意；

②若第n-1次為正面，則考慮前n-3次的情況：記前n-3次未出現連續3次正面的概率為Pn-3，（a）若第n-2次為反面，又第n-1次為正面，第n次為正面，則前n次一定沒有連續3次正面，滿足題意；（b）若第n-2次為正面，又第n-1次為正面，第n次為正面，則不滿足題意.

除上述之外，再無其他情況. 綜上所述，Pn=Pn-1+Pn-2+Pn-3.

解法二，記前n-1次未出現連續3次正面的概率為Pn-1，前n-4次未出現連續3次正面的概率為Pn-4，則前n次未出現連續3次正面的情況是前n-1次未出現連續3次正面的情況下，減掉第n次后可能出現連續3次正面的情況. 而在前n-1次未出現連續3次正面的情況下，第n次后出現連續3次正面的情況為第n次、第n-1次和第n-2次均為正，且第n-3次為反面. 所以，Pn=Pn-1-Pn-4.（其實利用法一的結論Pn=Pn-1+Pn-2+Pn-3，也可以很方便地推出Pn=Pn-1-Pn-4）

（3）由Pn=Pn-1-Pn-4知，PnPn-1，所以Pn=Pn-1-Pn-4

試題點評

本題的難點在于數列{Pn}遞推公式的探究和證明，兩種解法都從事件發生的內部過程給出了Pn的遞推關系，和真題1的解法二有異曲同工之妙，另外本題的兩種解法，也比較深刻地考查了分類討論思想，對學生解決綜合知識綜合能力有較高的要求.

真題3 （2010年“華約”試題）假定親本總體中三種基因型式：AA，Aa，aa的比例分別為u∶2v∶w（u+2v+w=1），且數量充分多，參與交配的親本是該總體中隨機的兩個.

（1）子一代中AA，Aa，aa所占比例分別為多少？

（2）子二代的三種基因型式的比例與子一代的三種基因型式的比例相同嗎？并說明理由.

分析與解？搖

？搖（1）父親的基因有AA，Aa，aa三種情況，母親的基因也有AA，Aa，aa三種情況，故搭配起來共有9種情況，列表如表1.

把每行數據相加可得AA∶Aa∶aa=（u2+2uv+v2）∶（2uv+2uw+2v2+2wv）∶（v2+2vw+w2）=（u+v）2∶2（u+v）（v+w）∶（v+w）2，這就是子一代三種基因型的比例.

（2）設u+v=x，v+w=y，上式即為x2∶2xy∶y2，且x+y=1，由于x2+2xy+y2=1，將x2，xy，y2分別看成u，v，w，則由（1）的結論可知子二代為AA，Aa，aa的比例為

（x2+xy）2∶2（x2+xy）（xy+y2）∶（xy+y2）2=x2（x+y）2∶2xy（x+y）（x+y）∶y2（x+y）2=x2∶2xy∶y2. 故子二代與子一代比例相同.

試題點評

本題考查的概率問題與生物學有密切關系，凸顯了自主招生考試注重數學知識和其他學科的整合，考查學生應用數學知識解決實際問題的能力.

另外，列表法是學習和解決概率問題的原始方法，在這里通過列舉將搭配情況逐一枚舉，可以讓我們清晰地獲知子一代的三種基因的數據，從而求得要求的比例關系.

本題第二問是生物學中的一個重要規律，現在用數學的方法加以證明，也體現了數學作為基礎學科，在生物學等其他學科中解決問題的重要工具的作用.

“華約”概率試題綜合分析

從2010年到2012年三年“華約”概率試題的分析中，我們不難看到“華約”概率試題的考試題型逐漸成熟，基本趨于穩定，而且具備以下特點：

1. 注重數學知識和其他學科的整合

2010年的題目注重和生物學的整合，2006年的清華自主招生中出現了概率和物理的綜合題目，近幾年各高校的自主招生題目都很注重這方面的綜合考查，這也成為概率題出題的一個基本方向和基本模式，預計今后還將延續這一思想.

2. 注重概率問題和其他數學知識的綜合

上述試題中體現了和二項式系數、組合恒等式以及遞推數列的綜合，基于遞推數列背景的概率問題近年來一直受到自主招生考試的青睞，能更準確、更全面地考查學生對這些問題的掌握情況；基于二項式定理、組合恒等式的概率問題也是這些年自主招生和高考的重點之一，其實，排列組合和二項式定理一直是概率問題中的重點知識，這些內容的綜合對學生的能力均有較高要求.

3. 注重對概率問題發生過程以及處理概率問題的基本方法的考查

上述三題中用到的列舉法、遞推法，以及二項式系數的變形等都是處理概率問題的基本方法. 列舉法是處理概率問題最根本的方法，但同時又是學生最容易遺忘的方法，有時列舉法在解題中能起到事半功倍的效果. 從概率問題的發生過程尋找遞推關系也是一種常用方法，對于較復雜問題，尋找相鄰兩項或者幾項之間的遞推關系特別有效. 因此，在學習和處理概率問題時，要特別注意這些方法的嘗試.

總之，概率問題作為自主招生考試的寵兒，我們必須認真重視，且要注重解題方法的總結，解題能力的培養，以及數學素養的提高.