關(guān)于《一道不等式題的多解、變式與推廣》的注記

摘 要：利用一元二次函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造性地給出了《一道不等式題的多解、變式與推廣》中實數(shù)a的取值范圍，克服了文中利用二元函數(shù)分式求解的困難.

關(guān)鍵詞：不等式；一元二次函數(shù)

王秀云老師在《一道不等式題的多解、變式與推廣》一文中討論了不等式問題：

題目1：若不等式+≤a?搖?搖（1）對任意正實數(shù)x，y恒成立，求實數(shù)a的取值范圍. 并討論了題目1的變式：

題目2：若不等式+≤a?搖 （2）對任意正實數(shù)x，y恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

對于題目1，文中提供了七種求解方法，其中一種方法為利用三角函數(shù)換元證明，其余六種方法均是將（1）式化為a≥（3），然后討論（3）式右端的取值范圍，進而求得a的取值范圍. 但是（3）式右端是關(guān)于二元函數(shù)的分式，一般而言，確定其范圍是較為困難的.筆者在此直接從（2）式出發(fā)，利用一元二次函數(shù)性質(zhì)求得a的取值范圍.

解：令y=tx，t∈（0，+∞），（2）式化為1+≤a，顯然有a>0. 兩邊平方，整理得

（a2n-1）t－2+（a2m-1）≥0，?搖?搖（4）又（4）式對t∈（0，+∞）恒成立，則有

a2n－1>0，（4）式化為－2+－≥0，

因此有－≥0，整理得（a2m－1）（a2n－1）≥1，

解得a≥.