探索的樂趣

摘 要：本文從一道例題“已知橢圓C：+=1，斜率為1的直線l交橢圓C于A，B兩點，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值”出發，逐步將其進行推廣，最終將其推廣到了一般結論：對于橢圓C：+=1，其中a>b>0，任意的一條直線l交上述橢圓C于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB面積的最大值為．

關鍵詞：橢圓；三角形面積；最大值

近日，筆者在奉賢中學上了一節《橢圓中的最值問題》的課，在講解完一個例題之后，學生的一句反問讓筆者對例題進行了推廣，在探索的過程中，得到了橢圓中一類最值問題的一般結論．

題目為：已知橢圓C：+=1，斜率為1的直線l交橢圓C于A，B兩點，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值．

在課堂上，學生的方法很多，大致可分為以下三種．

方法一：設直線l為y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），首先保證直線與橢圓C有兩個交點，即Δ>0，得0

S△AOB=ABh=?≤?=．

方法二：設直線l為y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），則直線l在y軸上的截距為m，故S△AOB=mx1-x2，通過計算可得△AOB面積的最大值為．

方法三：設直線l為y=x+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），則直線l在x軸上的截距為m，故S=my1-y2，通過計算可得△AOB面積的最大值為．

這時有學生提出疑問：是否對于任意的一條直線l交上述橢圓C于A，B兩點，O為坐標原點，都有△AOB面積的最大值呢？

看到學生們的興趣高漲，筆者便和學生們一起探索這個問題：

推廣1：已知橢圓C：+=1，任意的一條直線l交上述橢圓C于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB面積的最大值為．

證明：①若直線l的斜率k不存在，設該直線為x=n（－2

②若直線l的斜率k存在，設該直線為y=kx+m（k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），此時直線l在x軸上的截距為－，故得S△AOB=y1-y2． 又y1-y2=k?x1-x2，得S△AOB=mx1-x2，將y=kx+m代入+=1，整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4k2－12=0，由于直線與橢圓C有兩個交點，即Δ>0，得0

S△AOB=mx1-x2

故當m2=時，△AOB的面積取到最大值，為．

看到我們提出的第一個疑問得到了解決，學生們的積極性也進一步高漲，這時學生開始思考，是否對于一般的橢圓，也有類似的結論呢？

推廣2：已知橢圓C：+=1，（a>b>0），任意的一條直線l交上述橢圓C于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB面積的最大值為．

證明：①若直線l的斜率k不存在，設該直線為x=n（－a

②若直線l的斜率k存在，設該直線為y=kx+m（k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），此時直線l在x軸上的截距為－，故得S△AOB=y1-y2． 又y1-y2=k?x1-x2，得S△AOB=mx1-x2，將y=kx+m代入+=1，整理得，（b2+a2k2）x2+2mka2x+a2m2－a2b2=0． 由于直線與橢圓C有兩個交點，即Δ>0，得0

同理，對于橢圓：+=1，（a>b>0），也能得到面積的最大值為．

通過一道小小的最值問題，筆者和學生一步一步將其推廣到了橢圓中的一般結論，和學生一起經歷了探索的樂趣，這是一次令人愉悅的課堂經歷．