課堂教學中的那些“巧解”

摘 要：捕捉課堂教學中學生靈光一閃的瞬間，給出合理、恰當的解析，既是教師的基本功底，又是對學生的最好尊重，同時，也是培養學生數學學習的積極性，進而提高教學效益． 簡潔，必有其合理的一面；“巧解”，未必全是正確，直觀的判定需要理性分析，更需要教師積極保護與支持．

關鍵詞：巧解；溯源；分析

巧解與通性通法是相互對立統一的辯證關系，與通性通法對比而來． 在數學學習過程中，始終貫穿其中． 捕捉學生“思維火花”的瞬間，對于激發學生學習的興趣，解決學生認知中的疑惑，梳理知識脈絡，注重方法間的關聯，激發學生學習數學的激情與動力起到重要的作用． 知其然，更要知其所以然，堅持以學生為中心的課堂教學中，不僅僅是告知對還是錯，更應探求為什么錯，錯哪兒？讓學生在掌握基礎知識、基本技能的同時學會學習，學會探求，培養數學的思維與應用能力，形成基本的數學素養．

“巧解”溯源可以驗證方法的“真”“偽”. 去偽存真，培養學生的辯證思維，在反思中不斷進步. 學生巧解是課堂生成，不是預設．

例1 連結空間四邊形ABCD的兩條對角線，最多可以有（ ）直角三角形．

A． 一個B． 二個

C． 三個?搖?搖?搖?搖 D． 四個

學生巧解：學生到黑板畫個圖，注明長度關系（如圖1），由圖選D． 即AC=BD=5，AB=CD=4，BC=AD=3．

溯源與評析：學生甲構造一個非常特殊的“幾何體”，△ABC，△ABD，△BCD，△ACD均是全等的直角三角形，

即AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AD，AD⊥AB．

把底面補成平行四邊形如圖2，AB⊥BC，BC//DE?圯AB⊥DE，又AD⊥AB?圯AB⊥面ADE． 同理，CD⊥面ADE?圯AB//CD． 與已知矛盾，故這樣的空間四邊形不存在．

圖2

事實上，這樣構造的空間四邊形是一個矩形，為平面圖形． 反思是形成思維的重要組成部分，通過反思提高思維的質量，提升思維的品質，使學生的學習更加成熟、有效．

“巧解”溯源是從“特殊”追溯到“一般”思維銜接，知其然，更要知其所以然．這是對學生良好直觀判斷的褒獎，是使其繼續努力學習的源動力．

例2 （2010江蘇卷13）在銳角三角形ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，+=6cosC，則+的值是__________?搖．

學生巧解：令b=a，cosC=，得tanC=2，tan=?圯tanA=tanB==?圯+=4．

教師分析，常見解法：+=6cosC?圯6abcosC=a2+b2……①

6ab?=a2+b2?圯a2+b2=……②

+=?=?=?=?，

把①②依次代入，得：上式===4．

溯源與評析：從一般入手求解的過程復雜，運算量比較大，且費時． 為何“巧解”合理正確呢？關鍵在于本題中a，b符合輪換對稱的特點，即符合條件②的三角形中蘊涵一種等腰三角形（a=b）的情形，把符合條件的圖形特殊化處理找出其不變量，是處理填空題的一種上佳策略．

例3 簡化北京奧運會主體育場“鳥巢”的鋼結構俯視圖如圖3所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC，BD． 設內層橢圓方程為+=1（a>b>0），則外層橢圓方程可設+=1（a>b>0，m>1）． 若AC與BD的斜率之積為－，則橢圓的離心率為（ ）

A． B．

C． ?搖?搖?搖D．

圖3

學生巧解：AB為內橢圓的切線，由對稱性，此時有：

kBD?kAC=?－=－，－= －，易得e=，選A．

教師分析：設D（x1，y1），C（x2，y2），則經過點D的切線方程：+－1=0，經過點B，得y1=，又+=1，且x1<0，x1=－．

同理x2=，y2=，

可得kBD?kAC=－，即e=．

溯源與評析：巧解的合理性在哪里?事實上，內外橢圓是同離心率的兩個橢圓，外層橢圓是隨m（m>1）的變化而不斷變化，必存在一個m0的值恰好使AB為內橢圓的切線． 由上解答可知，經過點D的切線為：－x+－1=0，又經過（－ma，0），可得m=．

“巧解”溯源是“特殊”追溯到“特殊”的思維銜接，也是發展創造性思維的重要方法，“怪異”的解法或許是“神來之筆”！

例4 （2008浙江卷8）若cosa+2sina= －，則tana等于（ ）

A． B． 2 C． － D． －2

學生巧解：把cosa+2sina=－兩邊求導得－sina+2cosa=0?圯tana=2，選B．

溯源與評析：求解的合理性在哪里？也就是求導的背景是什么？為什么可以求導呢？其實，cosa+2sina=m（m∈［－，］）兩邊不一定能求導；求導的幾何含義是求切線的斜率，兩邊斜率均為0，原來僅限于m=±時等式求導成立． 因此，巧解是抓住m=－時的極端情形求解，自然能夠求出答案． 看似不可思議，實質上是作為解答的最好方法！解答過程無懈可擊，只是此方法不具一般性，僅適合特殊構造的題型．

“巧解”溯源是對非等價轉化數學思維的合理解釋，非等價轉化更能培養嚴謹治學的態度，一絲不茍的精神．

例5 （2011浙江卷22）設函數f（x）=（x－a）2lnx，a∈R.

（Ⅰ）若x=e為y=f（x）的極值點，求實數a；

（Ⅱ）求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立．

注：為自然對數的底數．

學生巧解：（Ⅰ）解答a=e或a=3e. 過程略．

（Ⅱ）由題意，有

f（3e）=（3e－a）2ln（3e）≤4e2，f（e）=（e－a）2lne≤4e2，

解得3e－≤a≤3e．?搖

溯源與評析：因為當x∈（0，1］時，對a∈R不等式恒成立，

當x∈（1，3e］時，lnx>0，故可轉化為：x－≤a≤x+對x∈（1，3e］恒成立，

則考察函數g（x）=x－（1

因為g（x）是增函數，所以g（x）max=g（3e）=3e－．

對函數h（x）進行求導，h′（x）=． 令h′（x）=0，得x=e． 當x∈（1，e）時，h′（x）<0，h（x）遞減；當x∈（e，3e］時，h′（x）>0，h（x）遞增，因此h（x）min=h（e）=3e． 因此，a的取值范圍為3e－≤a≤3e．

可見，學生的巧就巧在兩個賦值恰好在最大值及最小值上，直接找到答案的取值范圍． 巧解是怎么想到的呢？第一小步的提示為第二步做好了鋪墊，是產生巧解的功不可沒的因素！對于恒成立問題的求解，賦值是常用的基本技能，僅是已知的必要條件，其充分性怎么體現，不是為求答案而給答案． “授之以魚，不如授之以漁”，這種非等價轉化有利于培養思維的廣闊性、批判性，思考問題的周密性．

溯源本身就是創造性的思維過程，解題方法的溯源，有利于數學基礎知識的深入理解，基本技能的形成，掌握方法運用的特點． 抓住課堂中學生靈感頓顯，思路的直覺判斷，可以激發學生數學學習的內驅力，調動學習的積極性，肯定學生良好的直觀直覺，感受數學無限魅力，進而優化學生的知識結構，形成有效的知識提取與運用系統． 解題方法的溯源，有利于養成思維的批判性，拓展知識的深度與廣度；有利于培養學生個體的廣闊眼光，發展學生的創造性思維等．