一道數列試題求通項的多角度思考

摘 要：本文對一道數列試題求通項進行了多角度思考，著重培養學生的探究能力、創造能力、推理能力，引導學生把握知識結構脈絡，融會貫通，做到一題多解，一題多思.

關鍵詞：多角度；數列；通項公式

題目：已知數列｛ａｎ｝滿足=n（n為正整數）且a2=6，則數列｛ａｎ｝的通項公式為an=________.

角度一、歸納法（先猜后證）

解析1：

a1=1，a2=6，a3=15，a4=28，a5=45，a6=66，……

a2－a1=5，a3－a2=9，a4－a3=13，a5－a4=17，

……，an－an-1=4n－3?圯an=2n2－n.

點評：作為填空題，此題的本意或許就是歸納求解，也符合“蘇教版”中推理證明的要求，大部分學生都能解決. 筆者解決完以后，感覺意猶未盡，經一番思索，得出如下解法.

角度二、轉化為an－an-1=f（n）（n≥2）型

解析2：由=n（n∈N*）可得（n－1）an+1=（n+1）an－（n+1）①.

當n≥2時，①兩邊同時除以（n+1）n?（n－1） 得=－（n≥2）.

于是，－=－（n≥2），

－=－，……，

－=－，

從而－=－1，可得=+2=.

即an=2n2－n（n≥2），經檢a1=1也適合，故an=2n2－n.

解析3：由①（n－1）an+1=（n+1）an－（n+1）得到

nan+2=（n+2）an+1－（n+2） ②，

①-②得（2n+1）an+1－nan+2－（n+1）an=1③，

③整理得到n（an+1－an+2）+（n+1）（an+1－an）=1，

即n（an+2－an+1）－（n+1）（an+1－an）=－1，兩邊同時除以（n+1）n得

－=－，－=－，

……，－=－

?圯－=－1?圯=4+=

?圯an－an-1=4n－3，下同解析1（略），得an=2n2－n.

點評：解法2，3顯示了兩種不同的構造方法，目的均為轉化為an－an-1=f（n）（n≥2）型，而最終發現系數的分式型反而比整式型更容易構造.

角度三、轉化為=g（n）（n≥2）型

解析4：當n≥2時，①兩邊同時除以（n－1）（n+1），得到=－（n≥2），

可以得到=+1－（n≥2）?圯－1=－1（n≥2），

=（n≥2），=，……，=

?圯－1=2（n－1）（n≥2），=2n－1得an=2n2－n（n≥2）.

經檢a1=1也適合，故an=2n2－n.

解析5：由①兩邊同時除以（n－1）得到

an+1=an－（n≥2）?圯an+1－（n+1）=（an－n）（n≥2），

=，=，……，=，

可得=，=（n≥2）?圯an=2n2－n（n≥2）. 經檢a1=1也適合，故an=2n2－n.

點評：解法4，5顯示了兩種不同的構造方法，目的均為轉化為=g（n）（n≥2）型，而對式子的不同整理，導致構建的難度相差很大.

角度四、差分法

解析五：（n－1）an+1=（n+1）an－（n+1）（n≥2）①，

nan+2=（n+2）an+1－（n+2）②，

②－①得（2n+1）an+1－nan+2－（n+1）an=1③，

于是（2n+3）an+2－（n+1）an+3－（n+2）?an+1=1④.

④－③得（3n+3）an+1－（3n+3）an+2+（n+1）an+3－（n+1）an=0

?圯an+3－3an+2+3an+1－an=0（n≥2）

?圯an+3－2an+2+an=an+2－2an+1+an=…=a4－2a3+a2=4

an+2－2an+1+an=4?圯an+2－an+1=an+1－an+4，

an+1－an=（a2－a1）+4（n－1）=4n+1，下同解析1（略），得an=2n2－n.

點評：應該說此法在幾種解法中相對較好，但仍然需要很強的觀察能力. 一般地，對與變系數的遞推關系式數列通項的求解無一般性的解法，需要解題者多角度、多方位的思考. 也正為此，此類問題在高考，尤其在數學競賽中屢屢出現.

一道平凡習題竟有不同的思考角度，引導學生把握知識結構脈絡，融會貫通，可以學生的增強信心，減輕其負擔. 本題是高三研究性復習的一個范例，不敢說每一道習題都能從不同章節中產生不同的解法，但至少可以從函數、三角、向量、解析法、幾何模型等幾個方面進行充分考慮. 本題的探究工作建立在普遍聯系的世界觀基礎上，展示了數學世界的多樣性和統一性. 這些方法，無論簡單或復雜、奇異或平淡、流暢或做作、不失一般性或拘于一隅，因小見大或小題大做，殊途同歸或同源異路，給人的世界觀教益遠遠高于問題本身.