平行四邊形的一個向量性質及其空間推廣

摘 要：本文主要證明了平行四邊形的一個向量性質：不過點A的直線l分別交平行四邊形ABCD邊所在直線AB，AD于點P，Q，交對角線所在直線AC于點M，若滿足并探討了該向量性質的逆定理及進行空間上的推廣．

關鍵詞：平行四邊形；向量性質；空間推廣

利用平面向量的知識，平行四邊形有以下性質：

定理1：不過點A的直線l分別交平行四邊形ABCD邊所在直線AB，AD于點P，Q，交對角線所在直線AC于點M，若滿足=x，=y，=k，則+=．

證：如圖1所示，因為=+，所以=k+k．……①

又P，Q，M三點共線（A不在直線l上），所以=λ+μ（其中λ+μ=1），……②

結合題設，由②得=λx+μy．……③

聯立①③得k+k=λx+μy?．

又因為與不共線，故有λ+μ=1，λx=μy=k，所以+=1，即+=．

定理1的逆定理：P，Q，M分別是平行四邊形ABCD邊所在直線AB，AD及對角線所在直線AC都異于點A的點，且=x，=y，=k，若滿足+=，則P，Q，M三點共線．

證：如圖1所示，因為=+，所以=k+k．

由題設知=，=，則=+．

由于+=k×+=k×=1，從而有P，Q，M三點共線．

利用類比的方法易將平行四邊形的性質推廣到空間，于是有以下性質：

定理2：不過點A的平面α分別交平行六面體ABCD－A1B1C1D1棱所在直線AB，AD，AA1于點P，Q，R，交對角線所在直線AC1于點M，若滿足=x，=y，=z，=k，則++=．

證：如圖2所示，在平行六面體中有=++，

所以=k+k+k．……①

又P，Q，R，M四點共面（A不在平面α上），

所以=λ+μ+t（其中λ+μ+t=1），……②

結合題設，由②得=λx+μy+tz．……③

聯立①③得k+k+k=λx+μy+tz．

又因為，與不共面，故有λ+μ+t=1，λx=μy=tz=k，所以++=1，即++=．

定理2的逆定理：?搖P，Q，R，M分別是平行六面體ABCD－A1B1C1D1棱所在直線AB，AD，AA1及對角線所在直線AC1都異于點A的點，且=x，=y，=z，=k，若滿足++=，則P，Q，R，M四點共面．

證：如圖2所示，因為=++，所以=k+k+k．

由題設知=，=，=，則=++．

由于++=k×++=k×=1，從而有P，Q，R，M四點共面．